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Popolare Trigonometria >

2cos^2(x)+cos(x)<= 0

Soluzione

2 cos^{2} (x) + cos (x) \leq 0

Soluzione

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn or \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{2} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn] \cup [\frac{4 π}{3} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn]

Decimale

1.57079 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.09439 \dots + 2 πn or 4.18879 \dots + 2 πn \leq x \leq 4.71238 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

2 cos^{2} (x) + cos (x) \leq 0

Sia:

u = cos (x)

2 u^{2} + u \leq 0

2 u^{2} + u \leq 0 : - \frac{1}{2} \leq u \leq 0

2 u^{2} + u \leq 0

Fattorizza

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (2 u + 1)

u (2 u + 1) \leq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

u (2 u + 1)

Trova i segni di

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trova i segni di

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

2 u < - 1

2 u < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Semplificare

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

2 u > - 1

2 u > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Semplificare

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Riassumere in una tabella:

u 2 u + 1 u (2 u + 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} - 00 - \frac{1}{2} < u < 0 - + - u = 0 0 + 0 u > 0 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

u = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < u < 0 or u = 0

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{1}{2} \leq u < 0 or u = 0

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} < u < 0

- \frac{1}{2} \leq u < 0

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

- \frac{1}{2} \leq u < 0

u = 0

- \frac{1}{2} \leq u \leq 0

- \frac{1}{2} \leq u \leq 0

- \frac{1}{2} \leq u \leq 0

- \frac{1}{2} \leq u \leq 0

Sostituire indietro

u = cos (x)

- \frac{1}{2} \leq cos (x) \leq 0

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

- \frac{1}{2} \leq cos (x) and cos (x) \leq 0

- \frac{1}{2} \leq cos (x) : - \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq cos (x)

Scambia i lati

cos (x) \geq - \frac{1}{2}

Per

cos (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

- arccos (- \frac{1}{2}) : - \frac{2 π}{3}

- arccos (- \frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{2 π}{3}

Semplificare

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq 0 : \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) \leq 0

Per

cos (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (0) + 2 πn

Semplificare

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Semplificare

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

Semplificare

2 π - \frac{π}{2}

Converti l'elemento in frazione:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

Aggiungi elementi simili:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combina gli intervalli

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn and \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{2} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn or \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{2} + 2 πn

Esempi popolari

3sin(x)<= 3/2

3 sin (x) \leq \frac{3}{2}

tan(x)>-1

tan (x) > - 1

pi/2-arctan(n)<= 0.001

\frac{π}{2} - arctan (n) \leq 0.001

sin^2(x)>= 0

sin^{2} (x) \geq 0

cos(x/2)>-1/2

cos (\frac{x}{2}) > - \frac{1}{2}