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Beliebt Trigonometrie >

2sin^2(x)-5sin(x)-3>= 0,0<= x<= 2pi

Lösung

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 \geq 0, 0 \leq x \leq 2 π

Lösung

2 π - \frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 π - \frac{π}{6}

Intervall-Notation

[2 π - \frac{5 π}{6}, 2 π - \frac{π}{6}]

Dezimale

3.66519 \dots \leq x \leq 5.75958 \dots

Schritte zur Lösung

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 \geq 0, 0 \leq x \leq 2 π

Angenommen:

u = sin (x)

2 u^{2} - 5 u - 3 \geq 0

2 u^{2} - 5 u - 3 \geq 0 : u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

2 u^{2} - 5 u - 3 \geq 0

Faktorisiere

2 u^{2} - 5 u - 3 : (2 u + 1) (u - 3)

2 u^{2} - 5 u - 3

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

2 u^{2} - 5 u - 3

Definition

Faktoren von

6 : 1, 2, 3, 6

6

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

6 : 2, 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Addiere alle Primfaktoren.

2, 3

Addiere 1 und die Zahl

6

selbst

1, 6

Die Faktoren von

6

1, 2, 3, 6

Negative Faktoren von

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 3, - 6

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 6,

prüfe, ob

u + v = - 5

Prüfe

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

WahrPrüfe

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

Falsch

u = 1, v = - 6

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 6 u - 3)

= (2 u^{2} + u) + (- 6 u - 3)

Klammere

u

aus

2 u^{2} + u

aus

: u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u + 1)

Klammere

- 3

aus

- 6 u - 3

aus

: - 3 (2 u + 1)

- 6 u - 3

Schreibe

6

um:

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u - 3

Klammere gleiche Terme aus

- 3

= - 3 (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 3)

(2 u + 1) (u - 3) \geq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(2 u + 1) (u - 3)

Finde die Vorzeichen von

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u = - 1

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

2 u < - 1

2 u < - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

2 u > - 1

2 u > - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

u - 3

u - 3 = 0 : u = 3

u - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

u - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

u - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

u = 3

u = 3

u - 3 < 0 : u < 3

u - 3 < 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

u - 3 < 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

u - 3 + 3 < 0 + 3

Vereinfache

u < 3

u < 3

u - 3 > 0 : u > 3

u - 3 > 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

u - 3 > 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

u - 3 + 3 > 0 + 3

Vereinfache

u > 3

u > 3

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 u + 1 u - 3 (2 u + 1) (u - 3) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 3 + - - u = 3 + 00 u > 3 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\geq 0

u < - \frac{1}{2} or u = - \frac{1}{2} or u = 3 or u > 3

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

u \leq - \frac{1}{2} or u = 3 or u > 3

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u < - \frac{1}{2}

oder

u = - \frac{1}{2}

u \leq - \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq - \frac{1}{2}

oder

u = 3

u \leq - \frac{1}{2} or u = 3

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq - \frac{1}{2} or u = 3

oder

u > 3

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) \leq - \frac{1}{2} or sin (x) \geq 3

sin (x) \leq - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq - \frac{1}{2}

Für

sin (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{5 π}{6}

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6})

Vereinfache

- π - (- \frac{π}{6})

Wende Regel an

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{6}

= - \frac{5 π}{6}

Vereinfache

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq 3 :

Falsch für alle

x \in R

sin (x) \geq 3

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq 3 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y \geq 3 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \geq 3 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \geq 3

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn and 0 \leq x \leq 2 π

2 π - \frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 π - \frac{π}{6}

Graph

Beliebte Beispiele

tan(2x)<sqrt(3)

tan (2 x) < 3

2cos(x)+1<= 0

2 cos (x) + 1 \leq 0

5sin(x)<3,0<= x<= 2pi

5 sin (x) < 3, 0 \leq x \leq 2 π

sqrt(3)sin(x)-cos(x)>0

3 sin (x) - cos (x) > 0

2cos(x)+1<0

2 cos (x) + 1 < 0