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sec(pi/5)

Solución

sec (\frac{π}{5})

Solución

5 - 1

Notación decimal

1.23606 \dots

Pasos de solución

sec (\frac{π}{5})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

\frac{1}{cos ( \frac{π}{5} )}

sec (\frac{π}{5})

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( \frac{π}{5} )}

= \frac{1}{cos ( \frac{π}{5} )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

cos (\frac{π}{5})

Demostrar que:

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Utilizar el siguiente producto para la identidad de suma de ángulos:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

Demostrar que:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Dividir ambos lados entre

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Usar la siguiente identidad:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Dividir ambos lados entre

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Dividir ambos lados entre

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Sustituir

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

\frac{1}{2} = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

sin (\frac{3 π}{10}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})

Demostrar que:

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

Utilizar la regla de factorización:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})))

Simplificar

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 2 (2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}))

Demostrar que:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Dividir ambos lados entre

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Usar la siguiente identidad:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Dividir ambos lados entre

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Dividir ambos lados entre

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Sustituir

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 1

Sustituir

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

Simplificar

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

Sumar

\frac{1}{4}

a ambos lados

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

Simplificar

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} = \frac{5}{4}

Obtener la raíz cuadrada de ambos lados

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \pm \frac{5}{4}

cos (\frac{π}{5})

no puede ser negativa

sin (\frac{π}{10})

no puede ser negativa

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

Añadir las siguientes ecuaciones

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{2}

((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

Simplificar

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

= \frac{5 + 1}{4}

= \frac{1}{\frac{5 + 1}{4}}

Simplificar

\frac{1}{\frac{5 + 1}{4}} : 5 - 1

\frac{1}{\frac{5 + 1}{4}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{4}{5 + 1}

Racionalizar

\frac{4}{5 + 1} : 5 - 1

\frac{4}{5 + 1}

Multiplicar por el conjugado

\frac{5 - 1}{5 - 1}

= \frac{4 ( 5 - 1 )}{( 5 + 1 ) ( 5 - 1 )}

(5 + 1) (5 - 1) = 4

(5 + 1) (5 - 1)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 5, b = 1

= (5)^{2} - 1^{2}

Simplificar

(5)^{2} - 1^{2} : 4

(5)^{2} - 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (5)^{2} - 1

(5)^{2} = 5

(5)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (5^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 5

= 5 - 1

Restar:

5 - 1 = 4

= 4

= 4

= \frac{4 ( 5 - 1 )}{4}

Dividir:

\frac{4}{4} = 1

= 5 - 1

= 5 - 1

= 5 - 1

Ejemplos populares

arccsc(5)

arccsc (5)

cos((19pi)/4)

cos (\frac{19 π}{4})

cos(170)

cos (17 0^{\circ})

cos(arctan(4/3))

cos (arctan (\frac{4}{3}))

arctan((12)/(-5))

arctan (\frac{12}{- 5})