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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)-1/2 cos(2x)<0

Lösung

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) < 0

Lösung

arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

Intervall-Notation

(arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn, 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn)

Dezimale

1.94553 \dots + 2 πn < x < 4.33765 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) < 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

cos (x) - (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \frac{1}{2} < 0

Vereinfache

cos (x) - (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \frac{1}{2} : cos (x) + \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

cos (x) - (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \frac{1}{2}

= cos (x) - \frac{1}{2} (- 1 + 2 cos^{2} (x))

Multipliziere aus

- \frac{1}{2} (- 1 + 2 cos^{2} (x)) : \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

- \frac{1}{2} (- 1 + 2 cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = - \frac{1}{2}, b = - 1, c = 2 cos^{2} (x)

= - \frac{1}{2} (- 1) + (- \frac{1}{2}) \cdot 2 cos^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, + (- a) = - a

= 1 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x)

Vereinfache

1 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x) : \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

1 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x)

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

1 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere:

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2} cos^{2} (x)

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= cos^{2} (x) \cdot 1

Multipliziere:

cos^{2} (x) \cdot 1 = cos^{2} (x)

= cos^{2} (x)

= \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

= \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

= cos (x) + \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

cos (x) + \frac{1}{2} - cos^{2} (x) < 0

Angenommen:

u = cos (x)

u + \frac{1}{2} - u^{2} < 0

u + \frac{1}{2} - u^{2} < 0 : u < \frac{- 3 + 1}{2} or u > \frac{3 + 1}{2}

u + \frac{1}{2} - u^{2} < 0

Rewrite in standard form

u + \frac{1}{2} - u^{2} < 0

Multipliziere beide Seiten mit

2

u \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 - u^{2} \cdot 2 < 0 \cdot 2

2 u + 1 - 2 u^{2} < 0

2 u + 1 - 2 u^{2} < 0

Vervollständige das Quadrat

2 u + 1 - 2 u^{2} : - 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

2 u + 1 - 2 u^{2}

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c

- 2 u^{2} + 2 u + 1

Schreibe

- 2 u^{2} + 2 u + 1

in dieser Form:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

Klammere aus

- 2

- 2 (u^{2} - u - \frac{1}{2})

2 a = - 1 : a = - \frac{1}{2}

2 a = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 a = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

a = - \frac{1}{2}

a = - \frac{1}{2}

Addiere und subtrahiere

(- \frac{1}{2})^{2}

- 2 (u^{2} - u - \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - 1 u + (- \frac{1}{2})^{2} = (u - \frac{1}{2})^{2}

- 2 ((u - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

Vereinfache

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} < 0

Verschiebe

\frac{3}{2}

auf die rechte Seite

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} < 0

Subtrahiere

\frac{3}{2}

von beiden Seiten

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} < 0 - \frac{3}{2}

Vereinfache

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} < - \frac{3}{2}

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} < - \frac{3}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} < - \frac{3}{2}

Multipliziere beide Seiten mit -1 (kehre die Ungleichung um)

(- 2 (u - \frac{1}{2})^{2}) (- 1) > (- \frac{3}{2}) (- 1)

Vereinfache

2 (u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{2}

2 (u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2

2 (u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} > \frac{\frac{3}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} > \frac{\frac{3}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} : (u - \frac{1}{2})^{2}

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= (u - \frac{1}{2})^{2}

Vereinfache

\frac{\frac{3}{2}}{2} : \frac{3}{4}

\frac{\frac{3}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{4}

Für

u^{n} > a

, wenn

n

ist gerade dann

u < - n a or u > n a

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{4} or u - \frac{1}{2} > \frac{3}{4}

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{4} : u < \frac{- 3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{4}

Vereinfache

\frac{3}{4} : \frac{3}{2}

\frac{3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{2}

Verschiebe

\frac{1}{2}

auf die rechte Seite

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{2}

Füge

\frac{1}{2}

zu beiden Seiten hinzu

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Vereinfache

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Vereinfache

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < 0

= u

Vereinfache

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} : \frac{- 3 + 1}{2}

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 3 + 1}{2}

u < \frac{- 3 + 1}{2}

u < \frac{- 3 + 1}{2}

u < \frac{- 3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{4} : u > \frac{3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{2}

Verschiebe

\frac{1}{2}

auf die rechte Seite

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{2}

Füge

\frac{1}{2}

zu beiden Seiten hinzu

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Vereinfache

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Vereinfache

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > 0

= u

Vereinfache

\frac{3}{2} + \frac{1}{2} : \frac{3 + 1}{2}

\frac{3}{2} + \frac{1}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 + 1}{2}

u > \frac{3 + 1}{2}

u > \frac{3 + 1}{2}

u > \frac{3 + 1}{2}

Kombiniere die Bereiche

u < \frac{- 3 + 1}{2} or u > \frac{3 + 1}{2}

u < \frac{- 3 + 1}{2} or u > \frac{3 + 1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) < \frac{- 3 + 1}{2} or cos (x) > \frac{3 + 1}{2}

cos (x) < \frac{- 3 + 1}{2} : arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

cos (x) < \frac{- 3 + 1}{2}

Für

cos (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

cos (x) > \frac{3 + 1}{2} :

Falsch für alle

x \in R

cos (x) > \frac{3 + 1}{2}

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y > \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y > \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y > \frac{3 + 1}{2}

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

Beliebte Beispiele

cot(θ)<sqrt(3)

cot (θ) < 3

cos(2x)<= sin(x)

cos (2 x) \leq sin (x)

sin(x)cos(2x)>= 0

sin (x) cos (2 x) \geq 0

cos(x)-1/2 cos(2x)>0

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) > 0

sec(x)<= sqrt(2)

sec (x) \leq 2