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Populaire Trigonométrie >

1/(tan(x))>cot(1/x)

Solution

\frac{1}{tan ( x )} > cot (\frac{1}{x})

Solution

2 πn < x < - \frac{9 π - 81 π ^{2} + 4}{2} + 2 πn or \frac{1}{9 π} + 2 πn < x < - 4 π + 16 π^{2} + 1 + 2 πn or \frac{1}{8 π} + 2 πn < x < - \frac{7 π - 49 π ^{2} + 4}{2} + 2 πn or \frac{1}{7 π} + 2 πn < x < - 3 π + 9 π^{2} + 1 + 2 πn or \frac{1}{6 π} + 2 πn < x < - \frac{5 π - 25 π ^{2} + 4}{2} + 2 πn or \frac{1}{5 π} + 2 πn < x < - 2 π + 4 π^{2} + 1 + 2 πn or \frac{1}{4 π} + 2 πn < x < - \frac{3 π - 9 π ^{2} + 4}{2} + 2 πn or \frac{1}{3 π} + 2 πn < x < - π + π^{2} + 1 + 2 πn or \frac{1}{2 π} + 2 πn < x < - \frac{π - π ^{2} + 4}{2} + 2 πn or \frac{1}{π} + 2 πn < x < 1 + 2 πn or π + 2 πn < x < - \frac{- π - π ^{2} + 4}{2} + 2 πn

La notation des intervalles

(2 πn, - \frac{9 π - 81 π ^{2} + 4}{2} + 2 πn) \cup (\frac{1}{9 π} + 2 πn, - 4 π + 16 π^{2} + 1 + 2 πn) \cup (\frac{1}{8 π} + 2 πn, - \frac{7 π - 49 π ^{2} + 4}{2} + 2 πn) \cup (\frac{1}{7 π} + 2 πn, - 3 π + 9 π^{2} + 1 + 2 πn) \cup (\frac{1}{6 π} + 2 πn, - \frac{5 π - 25 π ^{2} + 4}{2} + 2 πn) \cup (\frac{1}{5 π} + 2 πn, - 2 π + 4 π^{2} + 1 + 2 πn) \cup (\frac{1}{4 π} + 2 πn, - \frac{3 π - 9 π ^{2} + 4}{2} + 2 πn) \cup (\frac{1}{3 π} + 2 πn, - π + π^{2} + 1 + 2 πn) \cup (\frac{1}{2 π} + 2 πn, - \frac{π - π ^{2} + 4}{2} + 2 πn) \cup (\frac{1}{π} + 2 πn, 1 + 2 πn) \cup (π + 2 πn, - \frac{- π - π ^{2} + 4}{2} + 2 πn)

Décimale

2 πn < x < 0.03532 \dots + 2 πn or 0.03536 \dots + 2 πn < x < 0.03972 \dots + 2 πn or 0.03978 \dots + 2 πn < x < 0.04537 \dots + 2 πn or 0.04547 \dots + 2 πn < x < 0.05290 \dots + 2 πn or 0.05305 \dots + 2 πn < x < 0.06340 \dots + 2 πn or 0.06366 \dots + 2 πn < x < 0.07907 \dots + 2 πn or 0.07957 \dots + 2 πn < x < 0.10493 \dots + 2 πn or 0.10610 \dots + 2 πn < x < 0.15531 \dots + 2 πn or 0.15915 \dots + 2 πn < x < 0.29129 \dots + 2 πn or 0.31830 \dots + 2 πn < x < 1 + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x < 3.43289 \dots + 2 πn

étapes des solutions

\frac{1}{tan ( x )} > cot (\frac{1}{x})

Déplacer

cot (\frac{1}{x})

vers la gauche

\frac{1}{tan ( x )} > cot (\frac{1}{x})

Soustraire

cot (\frac{1}{x})

des deux côtés

\frac{1}{tan ( x )} - cot (\frac{1}{x}) > cot (\frac{1}{x}) - cot (\frac{1}{x})

\frac{1}{tan ( x )} - cot (\frac{1}{x}) > 0

\frac{1}{tan ( x )} - cot (\frac{1}{x}) > 0

Périodicité de

\frac{1}{tan ( x )} - cot (\frac{1}{x}) :

Non périodique

La fonction

\frac{1}{tan ( x )} - cot (\frac{1}{x})

n'est pas périodique

= Non p \overset{e}{ˊ} riodique

Exprimer avec sinus, cosinus

\frac{1}{tan ( x )} - cot (\frac{1}{x}) > 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} - cot (\frac{1}{x}) > 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} - \frac{cos ( \frac{1}{x} )}{sin ( \frac{1}{x} )} > 0

\frac{1}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} - \frac{cos ( \frac{1}{x} )}{sin ( \frac{1}{x} )} > 0

Simplifier

\frac{1}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} - \frac{cos ( \frac{1}{x} )}{sin ( \frac{1}{x} )} : \frac{cos ( x ) sin ( \frac{1}{x} ) - cos ( \frac{1}{x} ) sin ( x )}{sin ( x ) sin ( \frac{1}{x} )}

\frac{1}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} - \frac{cos ( \frac{1}{x} )}{sin ( \frac{1}{x} )}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{cos ( \frac{1}{x} )}{sin ( \frac{1}{x} )}

Plus petit commun multiple de

sin (x), sin (\frac{1}{x}) : sin (x) sin (\frac{1}{x})

sin (x), sin (\frac{1}{x})

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

sin (x)

ou dans

sin (\frac{1}{x})

= sin (x) sin (\frac{1}{x})

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

sin (x) sin (\frac{1}{x})

Pour

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (\frac{1}{x})

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) sin ( \frac{1}{x} )}{sin ( x ) sin ( \frac{1}{x} )}

Pour

\frac{cos ( \frac{1}{x} )}{sin ( \frac{1}{x} )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (x)

\frac{cos ( \frac{1}{x} )}{sin ( \frac{1}{x} )} = \frac{cos ( \frac{1}{x} ) sin ( x )}{sin ( \frac{1}{x} ) sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) sin ( \frac{1}{x} )}{sin ( x ) sin ( \frac{1}{x} )} - \frac{cos ( \frac{1}{x} ) sin ( x )}{sin ( \frac{1}{x} ) sin ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) sin ( \frac{1}{x} ) - cos ( \frac{1}{x} ) sin ( x )}{sin ( x ) sin ( \frac{1}{x} )}

\frac{cos ( x ) sin ( \frac{1}{x} ) - cos ( \frac{1}{x} ) sin ( x )}{sin ( x ) sin ( \frac{1}{x} )} > 0

Trouver les points zéros et les points non définis de

\frac{cos ( x ) sin ( \frac{1}{x} ) - cos ( \frac{1}{x} ) sin ( x )}{sin ( x ) sin ( \frac{1}{x} )}

pour

0 \leq x < 2 π

Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zéro

\frac{cos ( x ) sin ( \frac{1}{x} ) - cos ( \frac{1}{x} ) sin ( x )}{sin ( x ) sin ( \frac{1}{x} )} = 0

\frac{cos ( x ) sin ( \frac{1}{x} ) - cos ( \frac{1}{x} ) sin ( x )}{sin ( x ) sin ( \frac{1}{x} )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 1, x = - \frac{π - π ^{2} + 4}{2}, x = - π + π^{2} + 1, x = - \frac{3 π - 9 π ^{2} + 4}{2}, x = - 2 π + 4 π^{2} + 1, x = - \frac{5 π - 25 π ^{2} + 4}{2}, x = - 3 π + 9 π^{2} + 1, x = - \frac{7 π - 49 π ^{2} + 4}{2}, x = - 4 π + 16 π^{2} + 1, x = - \frac{9 π - 81 π ^{2} + 4}{2}, x = - \frac{- π - π ^{2} + 4}{2}

\frac{cos ( x ) sin ( \frac{1}{x} ) - cos ( \frac{1}{x} ) sin ( x )}{sin ( x ) sin ( \frac{1}{x} )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) sin (\frac{1}{x}) - cos (\frac{1}{x}) sin (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos (x) sin (\frac{1}{x}) - cos (\frac{1}{x}) sin (x)

Utiliser l'identité de la différence de l'angle :

sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t) = sin (s - t)

= sin (\frac{1}{x} - x)

sin (\frac{1}{x} - x) = 0

Solutions générales pour

sin (\frac{1}{x} - x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{1}{x} - x = 0 + 2 πn, \frac{1}{x} - x = π + 2 πn

\frac{1}{x} - x = 0 + 2 πn, \frac{1}{x} - x = π + 2 πn

Résoudre

\frac{1}{x} - x = 0 + 2 πn : x = - πn - π^{2} n^{2} + 1, x = - πn + π^{2} n^{2} + 1

\frac{1}{x} - x = 0 + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

x

\frac{1}{x} - x = 0 + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

x

\frac{1}{x} x - xx = 0 \cdot x + 2 πn x

Simplifier

\frac{1}{x} x - xx = 0 \cdot x + 2 πn x

Simplifier

\frac{1}{x} x : 1

\frac{1}{x} x

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot x}{x}

Annuler le facteur commun :

x

= 1

Simplifier

- xx : - x^{2}

- xx

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= - x^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= - x^{2}

Simplifier

0 \cdot x : 0

0 \cdot x

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

1 - x^{2} = 0 + 2 πn x

Simplifier

0 + 2 πn x : 2 πn x

0 + 2 πn x

0 + 2 πn x = 2 πn x

= 2 πn x

1 - x^{2} = 2 πn x

1 - x^{2} = 2 πn x

1 - x^{2} = 2 πn x

Résoudre

1 - x^{2} = 2 πn x : x = - πn - π^{2} n^{2} + 1, x = - πn + π^{2} n^{2} + 1

1 - x^{2} = 2 πn x

Déplacer

2 πn x

vers la gauche

1 - x^{2} = 2 πn x

Soustraire

2 πn x

des deux côtés

1 - x^{2} - 2 πn x = 2 πn x - 2 πn x

Simplifier

1 - x^{2} - 2 πn x = 0

1 - x^{2} - 2 πn x = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- x^{2} - 2 πn x + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- x^{2} - 2 πn x + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 1, b = - 2 πn, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 πn ) \pm ( - 2 πn ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 πn ) \pm ( - 2 πn ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

Simplifier

(- 2 πn)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 : 2 π^{2} n^{2} + 1

(- 2 πn)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 2 πn)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 2 πn)^{2} = 2^{2} π^{2} n^{2}

(- 2 πn)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 2 πn)^{2} = (2 πn)^{2}

= (2 πn)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} π^{2} n^{2}

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 2^{2} π^{2} n^{2} + 4

Factoriser

2^{2} π^{2} n^{2} + 4 : 4 (π^{2} n^{2} + 1)

2^{2} π^{2} n^{2} + 4

Récrire comme

= 4 π^{2} n^{2} + 4 \cdot 1

Factoriser le terme commun

4

= 4 (π^{2} n^{2} + 1)

= 4 (π^{2} n^{2} + 1)

Appliquer la règle des radicaux :

n ab = n a n b,

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= 4 π^{2} n^{2} + 1

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 π^{2} n^{2} + 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 πn ) \pm 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2 ( - 1 )}

Séparer les solutions

x_{1} = \frac{- ( - 2 πn ) + 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2 ( - 1 )}, x_{2} = \frac{- ( - 2 πn ) - 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2 ( - 1 )}

x = \frac{- ( - 2 πn ) + 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2 ( - 1 )} : - πn - π^{2} n^{2} + 1

\frac{- ( - 2 πn ) + 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 πn + 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 πn + 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 πn + 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2}

Annuler

\frac{2 πn + 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2} : πn + π^{2} n^{2} + 1

\frac{2 πn + 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2}

Factoriser le terme commun

2

= \frac{2 ( πn + 1 + n ^{2} π ^{2} )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn + π^{2} n^{2} + 1

= - (πn + π^{2} n^{2} + 1)

Distribuer des parenthèses

= - (πn) - (π^{2} n^{2} + 1)

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= - πn - π^{2} n^{2} + 1

x = \frac{- ( - 2 πn ) - 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2 ( - 1 )} : - πn + π^{2} n^{2} + 1

\frac{- ( - 2 πn ) - 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 πn - 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 πn - 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 πn - 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2}

Annuler

\frac{2 πn - 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2} : πn - π^{2} n^{2} + 1

\frac{2 πn - 2 π ^{2} n ^{2} + 1}{2}

Factoriser le terme commun

2

= \frac{2 ( πn - 1 + n ^{2} π ^{2} )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn - π^{2} n^{2} + 1

= - (πn - π^{2} n^{2} + 1)

Distribuer des parenthèses

= - (πn) - (- π^{2} n^{2} + 1)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - πn + π^{2} n^{2} + 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

x = - πn - π^{2} n^{2} + 1, x = - πn + π^{2} n^{2} + 1

x = - πn - π^{2} n^{2} + 1, x = - πn + π^{2} n^{2} + 1

Résoudre

\frac{1}{x} - x = π + 2 πn : x = - \frac{2 πn + π + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}, x = - \frac{2 πn + π - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}

\frac{1}{x} - x = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

x

\frac{1}{x} - x = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

x

\frac{1}{x} x - xx = π x + 2 πn x

Simplifier

\frac{1}{x} x - xx = π x + 2 πn x

Simplifier

\frac{1}{x} x : 1

\frac{1}{x} x

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot x}{x}

Annuler le facteur commun :

x

= 1

Simplifier

- xx : - x^{2}

- xx

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= - x^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= - x^{2}

1 - x^{2} = π x + 2 πn x

1 - x^{2} = π x + 2 πn x

1 - x^{2} = π x + 2 πn x

Résoudre

1 - x^{2} = π x + 2 πn x : x = - \frac{2 πn + π + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}, x = - \frac{2 πn + π - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}

1 - x^{2} = π x + 2 πn x

Déplacer

2 πn x

vers la gauche

1 - x^{2} = π x + 2 πn x

Soustraire

2 πn x

des deux côtés

1 - x^{2} - 2 πn x = π x + 2 πn x - 2 πn x

Simplifier

1 - x^{2} - 2 πn x = π x

1 - x^{2} - 2 πn x = π x

Déplacer

π x

vers la gauche

1 - x^{2} - 2 πn x = π x

Soustraire

π x

des deux côtés

1 - x^{2} - 2 πn x - π x = π x - π x

Simplifier

1 - x^{2} - 2 πn x - π x = 0

1 - x^{2} - 2 πn x - π x = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- x^{2} - (2 πn + π) x + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- x^{2} - (2 πn + π) x + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 1, b = - 2 πn - π, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 πn - π ) \pm ( - 2 πn - π ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 πn - π ) \pm ( - 2 πn - π ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

Simplifier

(- 2 πn - π)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 : (- 2 πn - π)^{2} + 4

(- 2 πn - π)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 2 πn - π)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= (- 2 πn - π)^{2} + 4

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 πn - π ) \pm ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2 ( - 1 )}

Séparer les solutions

x_{1} = \frac{- ( - 2 πn - π ) + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2 ( - 1 )}, x_{2} = \frac{- ( - 2 πn - π ) - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2 ( - 1 )}

x = \frac{- ( - 2 πn - π ) + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2 ( - 1 )} : - \frac{2 πn + π + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}

\frac{- ( - 2 πn - π ) + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- ( - 2 πn - π ) + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- ( - 2 πn - π ) + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- ( - 2 πn - π ) + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}

- (- 2 πn - π) : 2 πn + π

- (- 2 πn - π)

Distribuer des parenthèses

= - (- 2 πn) - (- π)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= 2 πn + π

= - \frac{2 πn + π + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}

x = \frac{- ( - 2 πn - π ) - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2 ( - 1 )} : - \frac{2 πn + π - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}

\frac{- ( - 2 πn - π ) - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- ( - 2 πn - π ) - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- ( - 2 πn - π ) - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- ( - 2 πn - π ) - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}

- (- 2 πn - π) : 2 πn + π

- (- 2 πn - π)

Distribuer des parenthèses

= - (- 2 πn) - (- π)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= 2 πn + π

= - \frac{2 πn + π - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

x = - \frac{2 πn + π + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}, x = - \frac{2 πn + π - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}

x = - \frac{2 πn + π + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}, x = - \frac{2 πn + π - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}

x = - πn - π^{2} n^{2} + 1, x = - πn + π^{2} n^{2} + 1, x = - \frac{2 πn + π + ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}, x = - \frac{2 πn + π - ( - 2 πn - π ) ^{2} + 4}{2}

Solutions pour la plage

0 \leq x < 2 π

x = 1, x = - \frac{π - π ^{2} + 4}{2}, x = - π + π^{2} + 1, x = - \frac{3 π - 9 π ^{2} + 4}{2}, x = - 2 π + 4 π^{2} + 1, x = - \frac{5 π - 25 π ^{2} + 4}{2}, x = - 3 π + 9 π^{2} + 1, x = - \frac{7 π - 49 π ^{2} + 4}{2}, x = - 4 π + 16 π^{2} + 1, x = - \frac{9 π - 81 π ^{2} + 4}{2}, x = - \frac{- π - π ^{2} + 4}{2}

Trouver les points non définis:

x = π, x = \frac{1}{π}, x = \frac{1}{2 π}, x = \frac{1}{3 π}, x = \frac{1}{4 π}, x = \frac{1}{5 π}, x = \frac{1}{6 π}, x = \frac{1}{7 π}, x = \frac{1}{8 π}, x = \frac{1}{9 π}

Trouver les zéros du dénominateur

sin (x) sin (\frac{1}{x}) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

sin (x) = 0 or sin (\frac{1}{x}) = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = π

sin (\frac{1}{x}) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{1}{π}, x = \frac{1}{2 π}, x = \frac{1}{3 π}, x = \frac{1}{4 π}, x = \frac{1}{5 π}, x = \frac{1}{6 π}, x = \frac{1}{7 π}, x = \frac{1}{8 π}, x = \frac{1}{9 π}

sin (\frac{1}{x}) = 0, 0 \leq x < 2 π

Solutions générales pour

sin (\frac{1}{x}) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{1}{x} = 0 + 2 πn, \frac{1}{x} = π + 2 πn

\frac{1}{x} = 0 + 2 πn, \frac{1}{x} = π + 2 πn

Résoudre

\frac{1}{x} = 0 + 2 πn : x = \frac{1}{2 πn}; n \neq = 0

\frac{1}{x} = 0 + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

x

\frac{1}{x} = 0 + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

x

\frac{1}{x} x = 0 \cdot x + 2 πn x

Simplifier

1 = 0 + 2 πn x

Simplifier

0 + 2 πn x : 2 πn x

0 + 2 πn x

0 + 2 πn x = 2 πn x

= 2 πn x

1 = 2 πn x

1 = 2 πn x

Transposer les termes des côtés

2 πn x = 1

Diviser les deux côtés par

2 πn; n \neq = 0

2 πn x = 1

Diviser les deux côtés par

2 πn; n \neq = 0

\frac{2 πn x}{2 πn} = \frac{1}{2 πn}; n \neq = 0

Simplifier

x = \frac{1}{2 πn}; n \neq = 0

x = \frac{1}{2 πn}; n \neq = 0

Résoudre

\frac{1}{x} = π + 2 πn : x = \frac{1}{π ( 1 + 2 n )}; n \neq = - \frac{1}{2}

\frac{1}{x} = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

x

\frac{1}{x} = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

x

\frac{1}{x} x = π x + 2 πn x

Simplifier

1 = π x + 2 πn x

1 = π x + 2 πn x

Transposer les termes des côtés

π x + 2 πn x = 1

Factoriser

π x + 2 πn x : π x (1 + 2 n)

π x + 2 πn x

Factoriser le terme commun

x π

= x π (1 + 2 n)

π x (1 + 2 n) = 1

Diviser les deux côtés par

π (1 + 2 n); n \neq = - \frac{1}{2}

π x (1 + 2 n) = 1

Diviser les deux côtés par

π (1 + 2 n); n \neq = - \frac{1}{2}

\frac{π x ( 1 + 2 n )}{π ( 1 + 2 n )} = \frac{1}{π ( 1 + 2 n )}; n \neq = - \frac{1}{2}

Simplifier

x = \frac{1}{π ( 1 + 2 n )}; n \neq = - \frac{1}{2}

x = \frac{1}{π ( 1 + 2 n )}; n \neq = - \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2 πn}, x = \frac{1}{π ( 1 + 2 n )}; n \neq = 0, n \neq = - \frac{1}{2}

Solutions pour la plage

0 \leq x < 2 π

x = \frac{1}{π}, x = \frac{1}{2 π}, x = \frac{1}{3 π}, x = \frac{1}{4 π}, x = \frac{1}{5 π}, x = \frac{1}{6 π}, x = \frac{1}{7 π}, x = \frac{1}{8 π}, x = \frac{1}{9 π}

Combiner toutes les solutions

x = 0, x = π, x = \frac{1}{π}, x = \frac{1}{2 π}, x = \frac{1}{3 π}, x = \frac{1}{4 π}, x = \frac{1}{5 π}, x = \frac{1}{6 π}, x = \frac{1}{7 π}, x = \frac{1}{8 π}, x = \frac{1}{9 π}

Puisque l'équation n'est pas définie pour :

0

x = π, x = \frac{1}{π}, x = \frac{1}{2 π}, x = \frac{1}{3 π}, x = \frac{1}{4 π}, x = \frac{1}{5 π}, x = \frac{1}{6 π}, x = \frac{1}{7 π}, x = \frac{1}{8 π}, x = \frac{1}{9 π}

- \frac{9 π - 81 π ^{2} + 4}{2}, \frac{1}{9 π}, - 4 π + 16 π^{2} + 1, \frac{1}{8 π}, - \frac{7 π - 49 π ^{2} + 4}{2}, \frac{1}{7 π}, - 3 π + 9 π^{2} + 1, \frac{1}{6 π}, - \frac{5 π - 25 π ^{2} + 4}{2}, \frac{1}{5 π}, - 2 π + 4 π^{2} + 1, \frac{1}{4 π}, - \frac{3 π - 9 π ^{2} + 4}{2}, \frac{1}{3 π}, - π + π^{2} + 1, \frac{1}{2 π}, - \frac{π - π ^{2} + 4}{2}, \frac{1}{π}, 1, π, - \frac{- π - π ^{2} + 4}{2}

Identifier les intervalles

0 < x < - \frac{9 π - 81 π ^{2} + 4}{2}, - \frac{9 π - 81 π ^{2} + 4}{2} < x < \frac{1}{9 π}, \frac{1}{9 π} < x < - 4 π + 16 π^{2} + 1, - 4 π + 16 π^{2} + 1 < x < \frac{1}{8 π}, \frac{1}{8 π} < x < - \frac{7 π - 49 π ^{2} + 4}{2}, - \frac{7 π - 49 π ^{2} + 4}{2} < x < \frac{1}{7 π}, \frac{1}{7 π} < x < - 3 π + 9 π^{2} + 1, - 3 π + 9 π^{2} + 1 < x < \frac{1}{6 π}, \frac{1}{6 π} < x < - \frac{5 π - 25 π ^{2} + 4}{2}, - \frac{5 π - 25 π ^{2} + 4}{2} < x < \frac{1}{5 π}, \frac{1}{5 π} < x < - 2 π + 4 π^{2} + 1, - 2 π + 4 π^{2} + 1 < x < \frac{1}{4 π}, \frac{1}{4 π} < x < - \frac{3 π - 9 π ^{2} + 4}{2}, - \frac{3 π - 9 π ^{2} + 4}{2} < x < \frac{1}{3 π}, \frac{1}{3 π} < x < - π + π^{2} + 1, - π + π^{2} + 1 < x < \frac{1}{2 π}, \frac{1}{2 π} < x < - \frac{π - π ^{2} + 4}{2}, - \frac{π - π ^{2} + 4}{2} < x < \frac{1}{π}, \frac{1}{π} < x < 1, 1 < x < π, π < x < - \frac{- π - π ^{2} + 4}{2}, - \frac{- π - π ^{2} + 4}{2} < x < 2 π

Récapituler dans un tableau:

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

0 < x < - \frac{9 π - 81 π ^{2} + 4}{2} or \frac{1}{9 π} < x < - 4 π + 16 π^{2} + 1 or \frac{1}{8 π} < x < - \frac{7 π - 49 π ^{2} + 4}{2} or \frac{1}{7 π} < x < - 3 π + 9 π^{2} + 1 or \frac{1}{6 π} < x < - \frac{5 π - 25 π ^{2} + 4}{2} or \frac{1}{5 π} < x < - 2 π + 4 π^{2} + 1 or \frac{1}{4 π} < x < - \frac{3 π - 9 π ^{2} + 4}{2} or \frac{1}{3 π} < x < - π + π^{2} + 1 or \frac{1}{2 π} < x < - \frac{π - π ^{2} + 4}{2} or \frac{1}{π} < x < 1 or π < x < - \frac{- π - π ^{2} + 4}{2}

Appliquer la périodicité de

\frac{1}{tan ( x )} - cot (\frac{1}{x})

2 πn < x < - \frac{9 π - 81 π ^{2} + 4}{2} + 2 πn or \frac{1}{9 π} + 2 πn < x < - 4 π + 16 π^{2} + 1 + 2 πn or \frac{1}{8 π} + 2 πn < x < - \frac{7 π - 49 π ^{2} + 4}{2} + 2 πn or \frac{1}{7 π} + 2 πn < x < - 3 π + 9 π^{2} + 1 + 2 πn or \frac{1}{6 π} + 2 πn < x < - \frac{5 π - 25 π ^{2} + 4}{2} + 2 πn or \frac{1}{5 π} + 2 πn < x < - 2 π + 4 π^{2} + 1 + 2 πn or \frac{1}{4 π} + 2 πn < x < - \frac{3 π - 9 π ^{2} + 4}{2} + 2 πn or \frac{1}{3 π} + 2 πn < x < - π + π^{2} + 1 + 2 πn or \frac{1}{2 π} + 2 πn < x < - \frac{π - π ^{2} + 4}{2} + 2 πn or \frac{1}{π} + 2 πn < x < 1 + 2 πn or π + 2 πn < x < - \frac{- π - π ^{2} + 4}{2} + 2 πn

Exemples populaires

-2cos(x)+1>0

- 2 cos (x) + 1 > 0

2sin^4(x)-3sin^2(x)+1>0

2 sin^{4} (x) - 3 sin^{2} (x) + 1 > 0

cos(x)+(sqrt(3))/2 <= 0

cos (x) + \frac{3}{2} \leq 0

(sin(x)+cos(x))>= 1/2

(sin (x) + cos (x)) \geq \frac{1}{2}

tan(x)<= sqrt(3)

tan (x) \leq 3