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Popular Trigonometría >

2sin^4(x)-3sin^2(x)+1>0

Solución

2 sin^{4} (x) - 3 sin^{2} (x) + 1 > 0

Solución

2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Notación de intervalos

[2 πn, \frac{π}{4} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{4} + 2 πn, \frac{5 π}{4} + 2 πn) \cup (\frac{7 π}{4} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Decimal

2 πn \leq x < 0.78539 \dots + 2 πn or 2.35619 \dots + 2 πn < x < 3.92699 \dots + 2 πn or 5.49778 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Pasos de solución

2 sin^{4} (x) - 3 sin^{2} (x) + 1 > 0

Sea:

v = sin (x)

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1 > 0

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1 > 0 : v < - 1 or - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} or v > 1

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1 > 0

Factorizar

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1 : (2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1)

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1

Sea

u

v^{2}

= 2 u^{2} - 3 u + 1

Factorizar

2 u^{2} - 3 u + 1 : (2 u - 1) (u - 1)

2 u^{2} - 3 u + 1

Factorizar la expresión

2 u^{2} - 3 u + 1

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = 2,

revisar si

u + v = - 3

Revisar

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

Verdadero

u = - 1, v = - 2

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

= (2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

Factorizar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u - 1)

Factorizar

- 1

- 2 u + 1

- (2 u - 1)

- 2 u + 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - (2 u - 1)

Factorizar el termino común

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 1)

= (2 u - 1) (u - 1)

Sustituir en la ecuación

u = v^{2}

= (v^{2} - 1) (2 v^{2} - 1)

Factorizar

2 v^{2} - 1 : (2 v + 1) (2 v - 1)

2 v^{2} - 1

Reescribir

2 v^{2} - 1

como

(2 v)^{2} - 1^{2}

2 v^{2} - 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} v^{2} - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= (2)^{2} v^{2} - 1^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} v^{2} = (2 v)^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 v)^{2} - 1^{2} = (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1) (v^{2} - 1)

Factorizar

v^{2} - 1 : (v + 1) (v - 1)

v^{2} - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= v^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - 1^{2} = (v + 1) (v - 1)

= (v + 1) (v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1)

(2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1) > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1)

Encontrar los signos de

2 v + 1

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{2}{2}

2 v + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

2 v + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 v = - 1

2 v = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 v = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= v

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

v = - \frac{2}{2}

v = - \frac{2}{2}

v = - \frac{2}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{2}{2}

2 v + 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

2 v + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

2 v < - 1

2 v < - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 v < - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= v

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

v < - \frac{2}{2}

v < - \frac{2}{2}

v < - \frac{2}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{2}{2}

2 v + 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

2 v + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

2 v > - 1

2 v > - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 v > - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= v

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

v > - \frac{2}{2}

v > - \frac{2}{2}

v > - \frac{2}{2}

Encontrar los signos de

2 v - 1

2 v - 1 = 0 : v = \frac{2}{2}

2 v - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

2 v - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 v - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 v = 1

2 v = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 v = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 v}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 v}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= v

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

v = \frac{2}{2}

v = \frac{2}{2}

v = \frac{2}{2}

2 v - 1 < 0 : v < \frac{2}{2}

2 v - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

2 v - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 v - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 v < 1

2 v < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 v < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 v}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 v}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= v

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

v < \frac{2}{2}

v < \frac{2}{2}

v < \frac{2}{2}

2 v - 1 > 0 : v > \frac{2}{2}

2 v - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

2 v - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 v - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 v > 1

2 v > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 v > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 v}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 v}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= v

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

v > \frac{2}{2}

v > \frac{2}{2}

v > \frac{2}{2}

Encontrar los signos de

v + 1

v + 1 = 0 : v = - 1

v + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

v + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

v + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

v = - 1

v = - 1

v + 1 < 0 : v < - 1

v + 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

v + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

v + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

v < - 1

v < - 1

v + 1 > 0 : v > - 1

v + 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

v + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

v + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

v > - 1

v > - 1

Encontrar los signos de

v - 1

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

v - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

v - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

v - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

v - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

v - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

v - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

v > 1

v > 1

Resumir en una tabla:

2 v + 1 2 v - 1 v + 1 v - 1 (2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1) v < - 1 - - - - + v = - 1 - - 0 - 0 - 1 < v < - \frac{2}{2} - - + - - v = - \frac{2}{2} 0 - + - 0 - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} + - + - + v = \frac{2}{2} + 0 + - 0 \frac{2}{2} < v < 1 + + + - - v = 1 + + + 00 v > 1 + + + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

v < - 1 or - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} or v > 1

v < - 1 or - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} or v > 1

v < - 1 or - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} or v > 1

Sustituir en la ecuación

v = sin (x)

sin (x) < - 1 or - \frac{2}{2} < sin (x) < \frac{2}{2} or sin (x) > 1

sin (x) < - 1 :

Falso para todo

x \in R

sin (x) < - 1

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y < - 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

- \frac{2}{2} < sin (x) < \frac{2}{2} : 2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

- \frac{2}{2} < sin (x) < \frac{2}{2}

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- \frac{2}{2} < sin (x) and sin (x) < \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} < sin (x) : - \frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

- \frac{2}{2} < sin (x)

Intercambiar lados

sin (x) > - \frac{2}{2}

Para

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{2}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (- \frac{2}{2}) : - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

Utilizar la siguiente propiedad:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2}{2}) = - arcsin (\frac{2}{2})

= - arcsin (\frac{2}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

Simplificar

π - arcsin (- \frac{2}{2}) : \frac{5 π}{4}

π - arcsin (- \frac{2}{2})

arcsin (- \frac{2}{2}) = - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

Utilizar la siguiente propiedad:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2}{2}) = - arcsin (\frac{2}{2})

= - arcsin (\frac{2}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

= π - (- \frac{π}{4})

Simplificar

π - (- \frac{π}{4})

Aplicar la regla

- (- a) = a

= π + \frac{π}{4}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 4}{4}

= \frac{π 4}{4} + \frac{π}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 4 + π}{4}

Sumar elementos similares:

4 π + π = 5 π

= \frac{5 π}{4}

= \frac{5 π}{4}

- \frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

sin (x) < \frac{2}{2} : - \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

sin (x) < \frac{2}{2}

Para

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (\frac{2}{2}) : - \frac{5 π}{4}

- π - arcsin (\frac{2}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{4}

Simplificar

- π - \frac{π}{4}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 4}{4}

= - \frac{π 4}{4} - \frac{π}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 4 - π}{4}

Sumar elementos similares:

- 4 π - π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{4}

= - \frac{5 π}{4}

Simplificar

arcsin (\frac{2}{2}) : \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

Combinar los rangos

- \frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn and - \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

sin (x) > 1 :

Falso para todo

x \in R

sin (x) > 1

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

Combinar los rangos

Falso para todo x \in R or (2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn) or Falso para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Ejemplos populares

cos(x)+(sqrt(3))/2 <= 0

cos (x) + \frac{3}{2} \leq 0

(sin(x)+cos(x))>= 1/2

(sin (x) + cos (x)) \geq \frac{1}{2}

tan(x)<= sqrt(3)

tan (x) \leq 3

50sin(-pi/2 x-pi/2)>= 15

50 sin (- \frac{π}{2} x - \frac{π}{2}) \geq 15

solvefor x,sin(x)cos(2x)>0

so l v e f or x, sin (x) cos (2 x) > 0