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Popular Trigonometría >

(2sin(θ)cos(θ))/((3cos^2(θ)+1))>= 16/45

Solución

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{( 3 cos ^{2} ( θ ) + 1 )} \geq \frac{16}{45}

Solución

πn \leq θ \leq \frac{π}{2} + πn

Notación de intervalos

[πn, \frac{π}{2} + πn]

Decimal

πn \leq θ \leq 1.57079 \dots + πn

Pasos de solución

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{3 cos ^{2} ( θ ) + 1} \geq \frac{16}{45}

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{3 ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) + 1} \geq \frac{16}{45}

Simplificar

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{3 ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) + 1} : \frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4}

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{3 ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) + 1}

Expandir

3 (1 - sin^{2} (θ)) + 1 : - 3 sin^{2} (θ) + 4

3 (1 - sin^{2} (θ)) + 1

Expandir

3 (1 - sin^{2} (θ)) : 3 - 3 sin^{2} (θ)

3 (1 - sin^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 3 \cdot 1 - 3 sin^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin^{2} (θ)

= 3 - 3 sin^{2} (θ) + 1

Simplificar

3 - 3 sin^{2} (θ) + 1 : - 3 sin^{2} (θ) + 4

3 - 3 sin^{2} (θ) + 1

Agrupar términos semejantes

= - 3 sin^{2} (θ) + 3 + 1

Sumar:

3 + 1 = 4

= - 3 sin^{2} (θ) + 4

= - 3 sin^{2} (θ) + 4

= \frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4}

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4} \geq \frac{16}{45}

Periodicidad de

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4} : π

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4}

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

sin (θ)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

= π

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4}

para

0 \leq θ < π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4} = 0

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4} = 0, 0 \leq θ < π : θ = 0, θ = \frac{π}{2}

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4} = 0, 0 \leq θ < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin (θ) cos (θ) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (θ) = 0 or cos (θ) = 0

sin (θ) = 0, 0 \leq θ < π : θ = 0

sin (θ) = 0, 0 \leq θ < π

Soluciones generales para

sin (θ) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < π

θ = 0

cos (θ) = 0, 0 \leq θ < π : θ = \frac{π}{2}

cos (θ) = 0, 0 \leq θ < π

Soluciones generales para

cos (θ) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < π

θ = \frac{π}{2}

Combinar toda las soluciones

θ = 0, θ = \frac{π}{2}

Encontrar los puntos indefinidos:

Sin solución

Encontrar los ceros del denominador

- 3 sin^{2} (θ) + 4 = 0

Usando el método de sustitución

- 3 sin^{2} (θ) + 4 = 0

Sea:

sin (θ) = u

- 3 u^{2} + 4 = 0

- 3 u^{2} + 4 = 0 : u = \frac{2 3}{3}, u = - \frac{2 3}{3}

- 3 u^{2} + 4 = 0

Desplace

4

a la derecha

- 3 u^{2} + 4 = 0

Restar

4

de ambos lados

- 3 u^{2} + 4 - 4 = 0 - 4

Simplificar

- 3 u^{2} = - 4

- 3 u^{2} = - 4

Dividir ambos lados entre

- 3

- 3 u^{2} = - 4

Dividir ambos lados entre

- 3

\frac{- 3 u ^{2}}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}

Simplificar

u^{2} = \frac{4}{3}

u^{2} = \frac{4}{3}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{4}{3}, u = - \frac{4}{3}

\frac{4}{3} = \frac{2 3}{3}

\frac{4}{3}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{4}{3}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2}{3}

Racionalizar

\frac{2}{3} : \frac{2 3}{3}

\frac{2}{3}

Multiplicar por el conjugado

\frac{3}{3}

= \frac{2 3}{3 3}

33 = 3

33

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{2 3}{3}

= \frac{2 3}{3}

- \frac{4}{3} = - \frac{2 3}{3}

- \frac{4}{3}

Simplificar

\frac{4}{3} : \frac{2}{3}

\frac{4}{3}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{4}{3}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2}{3}

= - \frac{2}{3}

Racionalizar

- \frac{2}{3} : - \frac{2 3}{3}

- \frac{2}{3}

Multiplicar por el conjugado

\frac{3}{3}

= - \frac{2 3}{3 3}

33 = 3

33

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{2 3}{3}

= - \frac{2 3}{3}

u = \frac{2 3}{3}, u = - \frac{2 3}{3}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{2 3}{3}, sin (θ) = - \frac{2 3}{3}

sin (θ) = \frac{2 3}{3}, sin (θ) = - \frac{2 3}{3}

sin (θ) = \frac{2 3}{3}, 0 \leq θ < π :

Sin solución

sin (θ) = \frac{2 3}{3}, 0 \leq θ < π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (θ) = - \frac{2 3}{3}, 0 \leq θ < π :

Sin solución

sin (θ) = - \frac{2 3}{3}, 0 \leq θ < π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para θ \in R

0, \frac{π}{2}

Identificar los intervalos

0 < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < π

Resumir en una tabla:

sin (θ) cos (θ) - 3 sin^{2} (θ) + 4 \frac{2 s i n ( θ ) c o s ( θ )}{- 3 s i n ^{2} ( θ ) + 4} θ = 0 0 + + 0 0 < θ < \frac{π}{2} + + + + θ = \frac{π}{2} + 0 + 0 \frac{π}{2} < θ < π + - + - θ = π 0 - + 0

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

θ = 0 or 0 < θ < \frac{π}{2} or θ = \frac{π}{2} or θ = π

Mezclar intervalos sobrepuestos

0 \leq θ \leq \frac{π}{2} or θ = π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

θ = 0

0 < θ < \frac{π}{2}

0 \leq θ < \frac{π}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq θ < \frac{π}{2}

θ = \frac{π}{2}

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

θ = π

0 \leq θ \leq \frac{π}{2} or θ = π

0 \leq θ \leq \frac{π}{2} or θ = π

Utilizar la periodicidad de

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4}

πn \leq θ \leq \frac{π}{2} + πn

Ejemplos populares

cos(2t)>=-1/2

cos (2 t) \geq - \frac{1}{2}

-(-1-cos(t))>0

- (- 1 - cos (t)) > 0

cos(x/2)>0

cos (\frac{x}{2}) > 0

1/2 >sin(x/2)

\frac{1}{2} > sin (\frac{x}{2})

sin(x)<(-sqrt(3))/2

sin (x) < \frac{- 3}{2}