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Popular >

8sin^2(θ)-17sin(θ)<2pi,0<= θ<2pi

Solución

8 sin^{2} (θ) - 17 sin (θ) < 2 π, 0 \leq θ < 2 π

Solución

0 \leq θ < π - arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) or 2 π + arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) < θ < 2 π

Notación de intervalos

[0, π - arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16})) \cup (2 π + arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}), 2 π)

Notación decimal

0 \leq θ < 3.46846 \dots or 5.95631 \dots < θ < 6.28318 \dots

Pasos de solución

8 sin^{2} (θ) - 17 sin (θ) < 2 π, 0 \leq θ < 2 π

Sea:

u = sin (θ)

8 u^{2} - 17 u < 2 π

8 u^{2} - 17 u < 2 π : - \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} < u < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

8 u^{2} - 17 u < 2 π

Reescribir en la forma estándar

8 u^{2} - 17 u < 2 π

Restar

2 π

de ambos lados

8 u^{2} - 17 u - 2 π < 2 π - 2 π

Simplificar

8 u^{2} - 17 u - 2 π < 0

8 u^{2} - 17 u - 2 π < 0

Completar el cuadrado

8 u^{2} - 17 u - 2 π : 8 (u - \frac{17}{16})^{2} - 2 π - \frac{289}{32}

8 u^{2} - 17 u - 2 π

Escribir

8 u^{2} - 17 u - 2 π

en la forma:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

Factorizar

8

8 (u^{2} - \frac{17 u}{8} - \frac{π}{4})

2 a = - \frac{17}{8} : a = - \frac{17}{16}

2 a = - \frac{17}{8}

Dividir ambos lados entre

2

2 a = - \frac{17}{8}

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{17}{8}}{2}

Simplificar

\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{17}{8}}{2}

Simplificar

\frac{2 a}{2} : a

\frac{2 a}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= a

Simplificar

\frac{- \frac{17}{8}}{2} : - \frac{17}{16}

\frac{- \frac{17}{8}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{17}{8}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{17}{8}}{2} = \frac{17}{8 \cdot 2}

= - \frac{17}{8 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

8 \cdot 2 = 16

= - \frac{17}{16}

a = - \frac{17}{16}

a = - \frac{17}{16}

a = - \frac{17}{16}

Sumar y restar (de izquierda a derecha)

(- \frac{17}{16})^{2}

8 (u^{2} - \frac{17 u}{8} - \frac{π}{4} + (- \frac{17}{16})^{2} - (- \frac{17}{16})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - \frac{17}{8} u + (- \frac{17}{16})^{2} = (u - \frac{17}{16})^{2}

8 ((u - \frac{17}{16})^{2} - \frac{π}{4} - (- \frac{17}{16})^{2})

Simplificar

8 (u - \frac{17}{16})^{2} - 2 π - \frac{289}{32}

8 (u - \frac{17}{16})^{2} - 2 π - \frac{289}{32} < 0

Mover

2 π

al lado derecho

8 (u - \frac{17}{16})^{2} - 2 π - \frac{289}{32} < 0

Sumar

2 π

a ambos lados

8 (u - \frac{17}{16})^{2} - 2 π - \frac{289}{32} + 2 π < 0 + 2 π

Simplificar

8 (u - \frac{17}{16})^{2} - \frac{289}{32} < 2 π

8 (u - \frac{17}{16})^{2} - \frac{289}{32} < 2 π

Mover

\frac{289}{32}

al lado derecho

8 (u - \frac{17}{16})^{2} - \frac{289}{32} < 2 π

Sumar

\frac{289}{32}

a ambos lados

8 (u - \frac{17}{16})^{2} - \frac{289}{32} + \frac{289}{32} < 2 π + \frac{289}{32}

Simplificar

8 (u - \frac{17}{16})^{2} < 2 π + \frac{289}{32}

8 (u - \frac{17}{16})^{2} < 2 π + \frac{289}{32}

Dividir ambos lados entre

8

8 (u - \frac{17}{16})^{2} < 2 π + \frac{289}{32}

Dividir ambos lados entre

8

\frac{8 ( u - \frac{17}{16} ) ^{2}}{8} < \frac{2 π}{8} + \frac{\frac{289}{32}}{8}

Simplificar

\frac{8 ( u - \frac{17}{16} ) ^{2}}{8} < \frac{2 π}{8} + \frac{\frac{289}{32}}{8}

Simplificar

\frac{8 ( u - \frac{17}{16} ) ^{2}}{8} : (u - \frac{17}{16})^{2}

\frac{8 ( u - \frac{17}{16} ) ^{2}}{8}

Dividir:

\frac{8}{8} = 1

= (u - \frac{17}{16})^{2}

Simplificar

\frac{2 π}{8} + \frac{\frac{289}{32}}{8} : \frac{π}{4} + \frac{289}{256}

\frac{2 π}{8} + \frac{\frac{289}{32}}{8}

\frac{2 π}{8} = \frac{π}{4}

\frac{2 π}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{π}{4}

\frac{\frac{289}{32}}{8} = \frac{289}{256}

\frac{\frac{289}{32}}{8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{289}{32 \cdot 8}

Multiplicar los numeros:

32 \cdot 8 = 256

= \frac{289}{256}

= \frac{π}{4} + \frac{289}{256}

(u - \frac{17}{16})^{2} < \frac{π}{4} + \frac{289}{256}

(u - \frac{17}{16})^{2} < \frac{π}{4} + \frac{289}{256}

(u - \frac{17}{16})^{2} < \frac{π}{4} + \frac{289}{256}

Para

u^{n} < a

, si

n

es par entonces

- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} < u - \frac{17}{16} < \frac{π}{4} + \frac{289}{256}

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} < u - \frac{17}{16} and u - \frac{17}{16} < \frac{π}{4} + \frac{289}{256}

- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} < u - \frac{17}{16} : u > - \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} < u - \frac{17}{16}

Intercambiar lados

u - \frac{17}{16} > - \frac{π}{4} + \frac{289}{256}

Mover

\frac{17}{16}

al lado derecho

u - \frac{17}{16} > - \frac{π}{4} + \frac{289}{256}

Sumar

\frac{17}{16}

a ambos lados

u - \frac{17}{16} + \frac{17}{16} > - \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

Simplificar

u > - \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

u > - \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

u - \frac{17}{16} < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} : u < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

u - \frac{17}{16} < \frac{π}{4} + \frac{289}{256}

Mover

\frac{17}{16}

al lado derecho

u - \frac{17}{16} < \frac{π}{4} + \frac{289}{256}

Sumar

\frac{17}{16}

a ambos lados

u - \frac{17}{16} + \frac{17}{16} < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

Simplificar

u < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

u < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

Combinar los rangos

u > - \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} and u < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

Mezclar intervalos sobrepuestos

u > - \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} and u < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

u > - \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

u < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} < u < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} < u < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} < u < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} < sin (θ) < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} < sin (θ) and sin (θ) < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} < sin (θ) : arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) + 2 πn < θ < π - arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) + 2 πn

- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} < sin (θ)

Intercambiar lados

sin (θ) > - \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

Para

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}) + 2 πn < θ < π - arcsin (- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}) : arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16})

arcsin (- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16})

\frac{π}{4} + \frac{289}{256} = \frac{64 π + 289}{16}

\frac{π}{4} + \frac{289}{256}

Simplificar

\frac{π}{4} + \frac{289}{256}

en una fracción:

\frac{64 π + 289}{256}

\frac{π}{4} + \frac{289}{256}

Mínimo común múltiplo de

4, 256 : 256

4, 256

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

256 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

256

256

divida por

2256 = 128 \cdot 2

= 2 \cdot 128

128

divida por

2128 = 64 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 64

64

divida por

264 = 32 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 32

32

divida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

256

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 256

= 256

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

64

\frac{π}{4} = \frac{π 64}{4 \cdot 64} = \frac{π 64}{256}

= \frac{π 64}{256} + \frac{289}{256}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 64 + 289}{256}

= \frac{π 64 + 289}{256}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{64 π + 289}{256}

256 = 16

256

Descomponer el número en factores primos:

256 = 1 6^{2}

= 1 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 6^{2} = 16

= 16

= \frac{64 π + 289}{16}

= arcsin (- \frac{64 π + 289}{16} + \frac{17}{16})

Simplificar

- \frac{π 64 + 289}{16} + \frac{17}{16}

en una fracción:

\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}

- \frac{π 64 + 289}{16} + \frac{17}{16}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 64 + 289 + 17}{16}

= arcsin (\frac{- π 64 + 289 + 17}{16})

= arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16})

Simplificar

π - arcsin (- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}) : π - arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16})

π - arcsin (- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16})

arcsin (- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}) = arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16})

arcsin (- \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16})

\frac{π}{4} + \frac{289}{256} = \frac{64 π + 289}{16}

\frac{π}{4} + \frac{289}{256}

Simplificar

\frac{π}{4} + \frac{289}{256}

en una fracción:

\frac{64 π + 289}{256}

\frac{π}{4} + \frac{289}{256}

Mínimo común múltiplo de

4, 256 : 256

4, 256

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

256 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

256

256

divida por

2256 = 128 \cdot 2

= 2 \cdot 128

128

divida por

2128 = 64 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 64

64

divida por

264 = 32 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 32

32

divida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

256

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 256

= 256

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

64

\frac{π}{4} = \frac{π 64}{4 \cdot 64} = \frac{π 64}{256}

= \frac{π 64}{256} + \frac{289}{256}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 64 + 289}{256}

= \frac{π 64 + 289}{256}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{64 π + 289}{256}

256 = 16

256

Descomponer el número en factores primos:

256 = 1 6^{2}

= 1 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 6^{2} = 16

= 16

= \frac{64 π + 289}{16}

= arcsin (- \frac{64 π + 289}{16} + \frac{17}{16})

Simplificar

- \frac{π 64 + 289}{16} + \frac{17}{16}

en una fracción:

\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}

- \frac{π 64 + 289}{16} + \frac{17}{16}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 64 + 289 + 17}{16}

= arcsin (\frac{- π 64 + 289 + 17}{16})

= π - arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16})

arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) + 2 πn < θ < π - arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) + 2 πn

sin (θ) < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} :

Verdadero para todo

θ \in R

sin (θ) < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

Rango de

sin (θ) : - 1 \leq sin (θ) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (θ) \leq 1

- 1 \leq sin (θ) \leq 1

sin (θ) < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} and - 1 \leq sin (θ) \leq 1 : - 1 \leq sin (θ) \leq 1

Sea

y

sin (θ)

Combinar los rangos

y < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16} and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y < \frac{π}{4} + \frac{289}{256} + \frac{17}{16}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo θ

Verdadero para todo θ \in R

Combinar los rangos

arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) + 2 πn < θ < π - arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) + 2 πn and Verdadero para todo θ \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) + 2 πn < θ < π - arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) + 2 πn

Combinar los rangos

arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) + 2 πn < θ < π - arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) + 2 πn and 0 \leq θ < 2 π

0 \leq θ < π - arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) or 2 π + arcsin (\frac{- 64 π + 289 + 17}{16}) < θ < 2 π

Ejemplos populares

1+cos(x)>0

1 + cos (x) > 0

cos(2x)<-(sqrt(2))/2 ,0<= x<= 2pi

cos (2 x) < - \frac{2}{2}, 0 \leq x \leq 2 π

sin^2(x)< 3/4 ,-pi<= x<= pi

sin^{2} (x) < \frac{3}{4}, - π \leq x \leq π

cos^2(x)-sin^2(x)-cos(x)<= 0

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - cos (x) \leq 0

sin(x/6)>=-(sqrt(2))/2

sin (\frac{x}{6}) \geq - \frac{2}{2}