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Populaire Trigonométrie >

sin(θ)cos(θ)tan(θ)-cos^2(θ)>0

Solution

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - cos^{2} (θ) > 0

Solution

\frac{π}{4} + πn < θ < \frac{3 π}{4} + πn

La notation des intervalles

(\frac{π}{4} + πn, \frac{3 π}{4} + πn)

Décimale

0.78539 \dots + πn < θ < 2.35619 \dots + πn

étapes des solutions

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - cos^{2} (θ) > 0

Utiliser les identités suivantes:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Par conséquent

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - (1 - sin^{2} (θ)) > 0

Simplifier

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ) > 0

Périodicité de

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ) : π

Périodicité de

f (x) + c =

Périodicité de

f (x)

c = - 1

= p \overset{e}{ˊ} riodicit \overset{e}{ˊ} de sin (θ) cos (θ) tan (θ) + sin^{2} (θ)

La périodicité composée de la somme des fonctions périodiques est le plus petit commun multiple des périodes

sin (θ) cos (θ) tan (θ), sin^{2} (θ)

Périodicité de

sin (θ) cos (θ) tan (θ) : π

sin (θ) cos (θ) tan (θ)

iest composée des fonctions et des périodes suivantes :

sin (θ)

avec une périodicité de

2 π

Le composant de périodicité est :

π

Périodicité de

sin^{2} (θ) : π

Périodicité de

sin^{n} (x) = \frac{p e ˊ riodicit e ˊ de sin ( x )}{2},

si n est pair

Périodicité de

sin (θ) : 2 π

La périodicité de

sin (x)

est

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Simplifier

π

Combiner des périodes :

π, π

= π

Exprimer avec sinus, cosinus

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ) > 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ) > 0

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ) > 0

Simplifier

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ) : 2 sin^{2} (θ) - 1

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ)

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = sin^{2} (θ)

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

Annuler le facteur commun :

cos (θ)

= sin (θ) sin (θ)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

Grouper comme termes

= sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 1

Additionner les éléments similaires :

sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 2 sin^{2} (θ)

= 2 sin^{2} (θ) - 1

2 sin^{2} (θ) - 1 > 0

Factoriser

2 sin^{2} (θ) - 1 : (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

2 sin^{2} (θ) - 1

Récrire

2 sin^{2} (θ) - 1

comme

(2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

2 sin^{2} (θ) - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (θ) - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (θ) - 1^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} sin^{2} (θ) = (2 sin (θ))^{2}

= (2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

= (2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin (θ))^{2} - 1^{2} = (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

= (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) > 0

Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zéro

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) = 0

Résoudre

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) = 0

pour

0 \leq θ < π

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

2 sin (θ) - 1 = 0 : θ = \frac{π}{4} or θ = \frac{3 π}{4}

2 sin (θ) - 1 = 0, 0 \leq θ < π

Déplacer

1

vers la droite

2 sin (θ) - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 sin (θ) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 sin (θ) = 1

2 sin (θ) = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 sin (θ) = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 sin ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 sin ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 sin ( θ )}{2} : sin (θ)

\frac{2 sin ( θ )}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= sin (θ)

Simplifier

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

Solutions générales pour

sin (θ) = \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq θ < π

θ = \frac{π}{4}, θ = \frac{3 π}{4}

Combiner toutes les solutions

\frac{π}{4} or \frac{3 π}{4}

Les intervalles entre les points zéros

0 < θ < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < θ < π

Récapituler dans un tableau:

2 sin (θ) + 1 2 sin (θ) - 1 (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) θ = 0 + - - 0 < θ < \frac{π}{4} + - - θ = \frac{π}{4} + 00 \frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4} + + + θ = \frac{3 π}{4} + 00 \frac{3 π}{4} < θ < π + - - θ = π + - -

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

\frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4}

Appliquer la périodicité de

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

\frac{π}{4} + πn < θ < \frac{3 π}{4} + πn

Exemples populaires

-3cos(x)+1<= 1

- 3 cos (x) + 1 \leq 1

1-tan(x)<= 1

1 - tan (x) \leq 1

sin(x)>sin^2(x)

sin (x) > sin^{2} (x)

-1/(8sin^3(t))>0

- \frac{1}{8 sin ^{3} ( t )} > 0

cot(x)>= 7/8

cot (x) \geq \frac{7}{8}