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Popular Trigonometría >

sin(θ)cos(θ)tan(θ)-cos^2(θ)>0

Solución

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - cos^{2} (θ) > 0

Solución

\frac{π}{4} + πn < θ < \frac{3 π}{4} + πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{4} + πn, \frac{3 π}{4} + πn)

Decimal

0.78539 \dots + πn < θ < 2.35619 \dots + πn

Pasos de solución

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - cos^{2} (θ) > 0

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - (1 - sin^{2} (θ)) > 0

Simplificar

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ) > 0

Periodicidad de

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ) : π

Periodicidad de

f (x) + c =

Periodicidad de

f (x)

c = - 1

= periodicidad de sin (θ) cos (θ) tan (θ) + sin^{2} (θ)

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

sin (θ) cos (θ) tan (θ), sin^{2} (θ)

Periodicidad de

sin (θ) cos (θ) tan (θ) : π

sin (θ) cos (θ) tan (θ)

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

sin (θ)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

π

Periodicidad de

sin^{2} (θ) : π

Periodicidad de

sin^{n} (x) = \frac{Periodicidad de sin ( x )}{2},

si n es par

Periodicidad de

sin (θ) : 2 π

La periodicidad de

sin (x)

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Simplificar

π

Combinar períodos:

π, π

= π

Expresar con seno, coseno

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ) > 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ) > 0

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ) > 0

Simplificar

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ) : 2 sin^{2} (θ) - 1

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ)

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = sin^{2} (θ)

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

Eliminar los terminos comunes:

cos (θ)

= sin (θ) sin (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Sumar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 1

Sumar elementos similares:

sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 2 sin^{2} (θ)

= 2 sin^{2} (θ) - 1

2 sin^{2} (θ) - 1 > 0

Factorizar

2 sin^{2} (θ) - 1 : (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

2 sin^{2} (θ) - 1

Reescribir

2 sin^{2} (θ) - 1

como

(2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

2 sin^{2} (θ) - 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (θ) - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (θ) - 1^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} sin^{2} (θ) = (2 sin (θ))^{2}

= (2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

= (2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin (θ))^{2} - 1^{2} = (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

= (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) > 0

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) = 0

Resolver

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) = 0

para

0 \leq θ < π

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) = 0

Resolver cada parte por separado

2 sin (θ) - 1 = 0 : θ = \frac{π}{4} or θ = \frac{3 π}{4}

2 sin (θ) - 1 = 0, 0 \leq θ < π

Desplace

1

a la derecha

2 sin (θ) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 sin (θ) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 sin (θ) = 1

2 sin (θ) = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (θ) = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( θ )}{2} : sin (θ)

\frac{2 sin ( θ )}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= sin (θ)

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{2}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < π

θ = \frac{π}{4}, θ = \frac{3 π}{4}

Combinar toda las soluciones

\frac{π}{4} or \frac{3 π}{4}

Los intervalos entre ceros

0 < θ < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < θ < π

Resumir en una tabla:

2 sin (θ) + 1 2 sin (θ) - 1 (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) θ = 0 + - - 0 < θ < \frac{π}{4} + - - θ = \frac{π}{4} + 00 \frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4} + + + θ = \frac{3 π}{4} + 00 \frac{3 π}{4} < θ < π + - - θ = π + - -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

\frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4}

Utilizar la periodicidad de

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

\frac{π}{4} + πn < θ < \frac{3 π}{4} + πn

Ejemplos populares

-3cos(x)+1<= 1

- 3 cos (x) + 1 \leq 1

1-tan(x)<= 1

1 - tan (x) \leq 1

sin(x)>sin^2(x)

sin (x) > sin^{2} (x)

-1/(8sin^3(t))>0

- \frac{1}{8 sin ^{3} ( t )} > 0

cot(x)>= 7/8

cot (x) \geq \frac{7}{8}