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Popular >

-2cos(2x)-2cos(x)>0

Solución

- 2 cos (2 x) - 2 cos (x) > 0

Solución

\frac{π}{3} + 2 πn < x < π + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{3} + 2 πn, π + 2 πn) \cup (π + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn)

Notación decimal

1.04719 \dots + 2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x < 5.23598 \dots + 2 πn

Pasos de solución

- 2 cos (2 x) - 2 cos (x) > 0

Usar la siguiente identidad:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

- 2 (- 1 + 2 cos^{2} (x)) - 2 cos (x) > 0

Sea:

u = cos (x)

- 2 (- 1 + 2 u^{2}) - 2 u > 0

- 2 (- 1 + 2 u^{2}) - 2 u > 0 : - 1 < u < \frac{1}{2}

- 2 (- 1 + 2 u^{2}) - 2 u > 0

Reescribir en la forma estándar

- 2 (- 1 + 2 u^{2}) - 2 u > 0

Expandir

- 2 (- 1 + 2 u^{2}) - 2 u : 2 - 4 u^{2} - 2 u

- 2 (- 1 + 2 u^{2}) - 2 u

Expandir

- 2 (- 1 + 2 u^{2}) : 2 - 4 u^{2}

- 2 (- 1 + 2 u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = - 2, b = - 1, c = 2 u^{2}

= - 2 (- 1) + (- 2) \cdot 2 u^{2}

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, + (- a) = - a

= 2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 u^{2}

Simplificar

2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 u^{2} : 2 - 4 u^{2}

2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 u^{2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 \cdot 2 u^{2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 2 - 4 u^{2}

= 2 - 4 u^{2}

= 2 - 4 u^{2} - 2 u

2 - 4 u^{2} - 2 u > 0

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2}{2} - \frac{4 u ^{2}}{2} - \frac{2 u}{2} > \frac{0}{2}

Simplificar

\frac{2}{2} - \frac{4 u ^{2}}{2} - \frac{2 u}{2} > \frac{0}{2} : - 2 u^{2} - u + 1 > 0

\frac{2}{2} - \frac{4 u ^{2}}{2} - \frac{2 u}{2} > \frac{0}{2}

Simplificar

\frac{2}{2} - \frac{4 u ^{2}}{2} - \frac{2 u}{2} : - 2 u^{2} - u + 1

\frac{2}{2} - \frac{4 u ^{2}}{2} - \frac{2 u}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

\frac{2}{2} = 1

= 1 - \frac{4 u ^{2}}{2} - \frac{2 u}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= 1 - 2 u^{2} - \frac{2 u}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 1 - 2 u^{2} - u

Reescribir en la forma estándar

= - 2 u^{2} - u + 1

\frac{0}{2} = 0

\frac{0}{2}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

- 2 u^{2} - u + 1 > 0

- 2 u^{2} - u + 1 > 0

- 2 u^{2} - u + 1 > 0

Factorizar

- 2 u^{2} - u + 1 : - (2 u - 1) (u + 1)

- 2 u^{2} - u + 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (2 u^{2} + u - 1)

Factorizar

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Factorizar la expresión

2 u^{2} + u - 1

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = - 2,

revisar si

u + v = 1

Revisar

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Verdadero

u = 2, v = - 1

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Factorizar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Factorizar el termino común

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

= - (2 u - 1) (u + 1)

- (2 u - 1) (u + 1) > 0

Multiplicar ambos lados por

- 1

(invertir la desigualdad)

(- (2 u - 1) (u + 1)) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

Simplificar

(2 u - 1) (u + 1) < 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u - 1) (u + 1)

Encontrar los signos de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Resumir en una tabla:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

- 1 < u < \frac{1}{2}

- 1 < u < \frac{1}{2}

- 1 < u < \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

- 1 < cos (x) < \frac{1}{2}

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- 1 < cos (x) and cos (x) < \frac{1}{2}

- 1 < cos (x) : - π + 2 πn < x < π + 2 πn

- 1 < cos (x)

Intercambiar lados

cos (x) > - 1

Para

cos (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (- 1) + 2 πn < x < arccos (- 1) + 2 πn

Simplificar

- arccos (- 1) : - π

- arccos (- 1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - π

Simplificar

arccos (- 1) : π

arccos (- 1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= π

- π + 2 πn < x < π + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{2}

Para

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Simplificar

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

Simplificar

2 π - \frac{π}{3}

Convertir a fracción:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

Sumar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar los rangos

- π + 2 πn < x < π + 2 πn and \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{3} + 2 πn < x < π + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

cos^2(2x)>(2sqrt(3))/4

cos^{2} (2 x) > \frac{2 3}{4}

2sin(2x)+0.5>= 0.5

2 sin (2 x) + 0.5 \geq 0.5

cos(y)>0

cos (y) > 0

cos(x)<0.1

cos (x) < 0.1

4cos(2x-30)>0

4 cos (2 x - 30) > 0