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Popolare Trigonometria >

1/((sin(x))^2)< 4/3 ,0<x< pi/(15)

Soluzione

\frac{1}{( sin ( x ) ) ^{2}} < \frac{4}{3}, 0 < x < \frac{π}{15}

Soluzione

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or - \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

(\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn) \cup (- \frac{2 π}{3} + 2 πn, - \frac{π}{3} + 2 πn)

Decimale

1.04719 \dots + 2 πn < x < 2.09439 \dots + 2 πn or - 2.09439 \dots + 2 πn < x < - 1.04719 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

\frac{1}{( sin ( x ) ) ^{2}} < \frac{4}{3}, 0 < x < \frac{π}{15}

Riscrivere in forma standard

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} < \frac{4}{3}

Sottrarre

\frac{4}{3}

da entrambi i lati

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{4}{3} < \frac{4}{3} - \frac{4}{3}

Semplificare

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{4}{3} < 0

Semplifica

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{4}{3} : \frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )}

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{4}{3}

Minimo Comune Multiplo di

sin^{2} (x), 3 : 3 sin^{2} (x)

sin^{2} (x), 3

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

sin^{2} (x)

3

= 3 sin^{2} (x)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

3 sin^{2} (x)

Per

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot 3}{sin ^{2} ( x ) \cdot 3} = \frac{3}{3 sin ^{2} ( x )}

Per

\frac{4}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin^{2} (x)

\frac{4}{3} = \frac{4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )}

= \frac{3}{3 sin ^{2} ( x )} - \frac{4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )}

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )} < 0

Moltiplica entrambi i lati per

3

\frac{3 ( 3 - 4 sin ^{2} ( x ) )}{3 sin ^{2} ( x )} < 0 \cdot 3

Semplificare

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} < 0

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} < 0

Fattorizza

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{- ( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Fattorizza

- 4 sin^{2} (x) + 3 : - (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

- 4 sin^{2} (x) + 3

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (4 sin^{2} (x) - 3)

Fattorizza

4 sin^{2} (x) - 3 : (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

4 sin^{2} (x) - 3

Riscrivi

4 sin^{2} (x) - 3

come

(2 sin (x))^{2} - (3)^{2}

4 sin^{2} (x) - 3

Riscrivi

4

come

2^{2}

= 2^{2} sin^{2} (x) - 3

Applicare la regola della radice:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= 2^{2} sin^{2} (x) - (3)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} sin^{2} (x) = (2 sin (x))^{2}

= (2 sin (x))^{2} - (3)^{2}

= (2 sin (x))^{2} - (3)^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin (x))^{2} - (3)^{2} = (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

= (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

= - (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

= \frac{- ( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{- ( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )} < 0

Moltiplicare entrambi i lati per

- 1

(invertire l'ineguaglianza)

\frac{( - ( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 ) ) ( - 1 )}{sin ^{2} ( x )} > 0 \cdot (- 1)

Semplificare

\frac{( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )} > 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

\frac{( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )}

Trova i segni di

2 sin (x) + 3

2 sin (x) + 3 = 0 : sin (x) = - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 sin (x) + 3 = 0

Sottrarre

3

da entrambi i lati

2 sin (x) + 3 - 3 = 0 - 3

Semplificare

2 sin (x) = - 3

2 sin (x) = - 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x) = - 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{- 3}{2}

Semplificare

sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x) = - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 < 0 : sin (x) < - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 < 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 sin (x) + 3 < 0

Sottrarre

3

da entrambi i lati

2 sin (x) + 3 - 3 < 0 - 3

Semplificare

2 sin (x) < - 3

2 sin (x) < - 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x) < - 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x )}{2} < \frac{- 3}{2}

Semplificare

sin (x) < - \frac{3}{2}

sin (x) < - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 > 0 : sin (x) > - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 > 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 sin (x) + 3 > 0

Sottrarre

3

da entrambi i lati

2 sin (x) + 3 - 3 > 0 - 3

Semplificare

2 sin (x) > - 3

2 sin (x) > - 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x) > - 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x )}{2} > \frac{- 3}{2}

Semplificare

sin (x) > - \frac{3}{2}

sin (x) > - \frac{3}{2}

Trova i segni di

2 sin (x) - 3

2 sin (x) - 3 = 0 : sin (x) = \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 sin (x) - 3 = 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 sin (x) - 3 + 3 = 0 + 3

Semplificare

2 sin (x) = 3

2 sin (x) = 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x) = 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{3}{2}

Semplificare

sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 < 0 : sin (x) < \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 < 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 sin (x) - 3 < 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 sin (x) - 3 + 3 < 0 + 3

Semplificare

2 sin (x) < 3

2 sin (x) < 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x) < 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x )}{2} < \frac{3}{2}

Semplificare

sin (x) < \frac{3}{2}

sin (x) < \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 > 0 : sin (x) > \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 > 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 sin (x) - 3 > 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 sin (x) - 3 + 3 > 0 + 3

Semplificare

2 sin (x) > 3

2 sin (x) > 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x) > 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x )}{2} > \frac{3}{2}

Semplificare

sin (x) > \frac{3}{2}

sin (x) > \frac{3}{2}

Trova i segni di

sin^{2} (x)

sin^{2} (x) = 0 : sin (x) = 0

sin^{2} (x) = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

sin (x) = 0

sin^{2} (x) > 0 : sin (x) < 0 or sin (x) > 0

sin^{2} (x) > 0

Per

u^{n} > 0

, se

n

è pari allora

u < 0

u > 0

sin (x) < 0 or sin (x) > 0

Trova i punti singolari

Trovare gli zeri del denominatore

sin^{2} (x) :

Nessuna soluzione

sin^{2} (x) = 0

I lati non sono uguali

Nessuna soluzione

Riassumere in una tabella:

2 sin (x) + 3 2 sin (x) - 3 sin^{2} (x) \frac{( 2 s i n ( x ) + 3 ) ( 2 s i n ( x ) - 3 )}{s i n ^{2} ( x )} sin (x) < - \frac{3}{2} - - + + sin (x) = - \frac{3}{2} 0 - + 0 - \frac{3}{2} < sin (x) < 0 + - + - sin (x) = 0 + - 0 “ N o n d e f ini t o “ 0 < sin (x) < \frac{3}{2} + - + - sin (x) = \frac{3}{2} + 0 + 0 sin (x) > \frac{3}{2} + + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

sin (x) < - \frac{3}{2} or sin (x) > \frac{3}{2}

sin (x) < - \frac{3}{2} or sin (x) > \frac{3}{2}

sin (x) < - \frac{3}{2} : - \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) < - \frac{3}{2}

Per

sin (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{3}{2}) + 2 πn < x < arcsin (- \frac{3}{2}) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (- \frac{3}{2}) : - \frac{2 π}{3}

- π - arcsin (- \frac{3}{2})

arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}

arcsin (- \frac{3}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{3}{2}) = - arcsin (\frac{3}{2})

= - arcsin (\frac{3}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

= - \frac{π}{3}

= - π - (- \frac{π}{3})

Semplificare

- π - (- \frac{π}{3})

Applicare la regola

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{3}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 3}{3}

= - \frac{π 3}{3} + \frac{π}{3}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + π}{3}

Aggiungi elementi simili:

- 3 π + π = - 2 π

= \frac{- 2 π}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 π}{3}

= - \frac{2 π}{3}

Semplificare

arcsin (- \frac{3}{2}) : - \frac{π}{3}

arcsin (- \frac{3}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{3}{2}) = - arcsin (\frac{3}{2})

= - arcsin (\frac{3}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

= - \frac{π}{3}

- \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) > \frac{3}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

sin (x) > \frac{3}{2}

Per

sin (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Semplificare

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Semplificare

π - arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{2 π}{3}

π - arcsin (\frac{3}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{3}

Semplificare

π - \frac{π}{3}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 3}{3}

= \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 - π}{3}

Aggiungi elementi simili:

3 π - π = 2 π

= \frac{2 π}{3}

= \frac{2 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

Combina gli intervalli

- \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or - \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn

Esempi popolari

cos^2(x)<sin^2(x)

cos^{2} (x) < sin^{2} (x)

sin(x-45)> 1/2 sqrt(3),0<= x<= 360

sin (x - 4 5^{\circ}) > \frac{1}{2} 3, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

2sin^2(x)>-1

2 sin^{2} (x) > - 1

sin(θ)+cos(θ)+1>0

sin (θ) + cos (θ) + 1 > 0

-cos(x)-4sin(2x)<0

- cos (x) - 4 sin (2 x) < 0