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-cos(x)-4sin(2x)<0

Solución

- cos (x) - 4 sin (2 x) < 0

Solución

2 πn \leq x < \frac{π}{2} + 2 πn or π + 0.12532 \dots + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or - 0.12532 \dots + 2 π + 2 πn < x \leq 2 π + 2 πn

Notación de intervalos

[2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (π + 0.12532 \dots + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn) \cup (- 0.12532 \dots + 2 π + 2 πn, 2 π + 2 πn]

Notación decimal

2 πn \leq x < 1.57079 \dots + 2 πn or 3.26692 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn or 6.15785 \dots + 2 πn < x \leq 6.28318 \dots + 2 πn

Pasos de solución

- cos (x) - 4 sin (2 x) < 0

Usar la siguiente identidad:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

- cos (x) - 4 \cdot 2 cos (x) sin (x) < 0

Simplificar

- cos (x) - 8 cos (x) sin (x) < 0

Periodicidad de

- cos (x) - 8 cos (x) sin (x) : 2 π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

cos (x), 8 cos (x) sin (x)

Periodicidad de

cos (x) : 2 π

La periodicidad de

: cos (x)

2 π

= 2 π

Periodicidad de

8 cos (x) sin (x) : π

8 cos (x) sin (x)

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

cos (x)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

π

Combinar períodos:

2 π, π

= 2 π

Factorizar

- cos (x) - 8 cos (x) sin (x) : - cos (x) (8 sin (x) + 1)

- cos (x) - 8 cos (x) sin (x)

Factorizar el termino común

- cos (x)

= - cos (x) (1 + 8 sin (x))

- cos (x) (8 sin (x) + 1) < 0

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

- cos (x) (8 sin (x) + 1) = 0

Resolver

- cos (x) (8 sin (x) + 1) = 0

para

0 \leq x < 2 π

- cos (x) (8 sin (x) + 1) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} or x = \frac{3 π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

8 sin (x) + 1 = 0 : x = π + 0.12532 \dots or x = - 0.12532 \dots + 2 π

8 sin (x) + 1 = 0, 0 \leq x < 2 π

Mover

1

al lado derecho

8 sin (x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

8 sin (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

8 sin (x) = - 1

8 sin (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

8

8 sin (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

8

\frac{8 sin ( x )}{8} = \frac{- 1}{8}

Simplificar

sin (x) = - \frac{1}{8}

sin (x) = - \frac{1}{8}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{1}{8}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{1}{8}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1}{8}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{8}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1}{8}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{8}) + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = π + arcsin (\frac{1}{8}), x = - arcsin (\frac{1}{8}) + 2 π

Mostrar soluciones en forma decimal

x = π + 0.12532 \dots, x = - 0.12532 \dots + 2 π

Combinar toda las soluciones

\frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots or \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π

Los intervalos entre ceros

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π + 0.12532 \dots, π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < - 0.12532 \dots + 2 π, - 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π

Resumir en una tabla:

cos (x) 8 sin (x) + 1 - cos (x) (8 sin (x) + 1) x = 0 + + - 0 < x < \frac{π}{2} + + - x = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < x < π + 0.12532 \dots - + + x = π + 0.12532 \dots - 00 π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} - - - x = \frac{3 π}{2} 0 - 0 \frac{3 π}{2} < x < - 0.12532 \dots + 2 π + - + x = - 0.12532 \dots + 2 π + 00 - 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π + + - x = 2 π + + -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π or x = 2 π

Mezclar intervalos sobrepuestos

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π or x = 2 π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

x = 0

0 < x < \frac{π}{2}

0 \leq x < \frac{π}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq x < \frac{π}{2}

π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2}

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2}

- 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π < x < 2 π

x = 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π < x \leq 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or π + 0.12532 \dots < x < \frac{3 π}{2} or - 0.12532 \dots + 2 π < x \leq 2 π

Utilizar la periodicidad de

- cos (x) - 8 cos (x) sin (x)

2 πn \leq x < \frac{π}{2} + 2 πn or π + 0.12532 \dots + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or - 0.12532 \dots + 2 π + 2 πn < x \leq 2 π + 2 πn

Ejemplos populares

50sin(-pi/2 x-pi/2)>=-15

50 sin (- \frac{π}{2} x - \frac{π}{2}) \geq - 15

sin^2(3x)<= 3/4

sin^{2} (3 x) \leq \frac{3}{4}

sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)>= 0

sin (x) cos (y) - cos (x) sin (y) \geq 0

cos(θ)>0,tan(θ)>0

cos (θ) > 0, tan (θ) > 0

cos(x/4+pi/8)>=-1/2

cos (\frac{x}{4} + \frac{π}{8}) \geq - \frac{1}{2}