English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

cos(2x)<cos(4x)

Решение

cos (2 x) < cos (4 x)

Решение

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

Обозначение интервала

(\frac{π}{3} + πn, \frac{2 π}{3} + πn)

десятичными цифрами

1.04719 \dots + πn < x < 2.09439 \dots + πn

Шаги решения

cos (2 x) < cos (4 x)

Переместите

cos (4 x)

влево

cos (2 x) < cos (4 x)

Вычтите

cos (4 x)

с обеих сторон

cos (2 x) - cos (4 x) < cos (4 x) - cos (4 x)

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

Допустим:

u = 2 x

cos (u) - cos (2 u) < 0

cos (u) - cos (2 u) < 0 : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) - cos (2 u) < 0

Используйте следующую тождественность:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

- (- 1 + 2 cos^{2} (u)) + cos (u) < 0

После упрощения получаем

1 - 2 cos^{2} (u) + cos (u) < 0

Допустим:

v = cos (u)

1 - 2 v^{2} + v < 0

1 - 2 v^{2} + v < 0 : v < - \frac{1}{2} or v > 1

1 - 2 v^{2} + v < 0

коэффициент

1 - 2 v^{2} + v : - (2 v + 1) (v - 1)

1 - 2 v^{2} + v

Убрать общее значение

- 1

= - (2 v^{2} - v - 1)

коэффициент

2 v^{2} - v - 1 : (2 v + 1) (v - 1)

2 v^{2} - v - 1

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c

= 2 v^{2} - v - 1

Разбейте выражение на группы

2 v^{2} - v - 1

Определение

Множители

2 : 1, 2

2

Делители (множители)

Найдите простые множители

2 : 2

2

2

является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно

= 2

Добавьте 1

1

Факторы

2

1, 2

Отрицательные коэффициенты

2 : - 1, - 2

Умножьте коэффициенты на

- 1

чтобы получить отрицательные коэффициенты

- 1, - 2

Для каждых двух множителей таких, как

u * v = - 2,

проверьте, если

u + v = - 1

Проверьте

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

ВерноПроверьте

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Неверно

u = 1, v = - 2

Сгруппируйте в

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

= (2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

Вынести

v

из

2 v^{2} + v : v (2 v + 1)

2 v^{2} + v

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 2 vv + v

Убрать общее значение

v

= v (2 v + 1)

Вынести

- 1

из

- 2 v - 1 : - (2 v + 1)

- 2 v - 1

Убрать общее значение

- 1

= - (2 v + 1)

= v (2 v + 1) - (2 v + 1)

Убрать общее значение

2 v + 1

= (2 v + 1) (v - 1)

= - (2 v + 1) (v - 1)

- (2 v + 1) (v - 1) < 0

Умножьте обе части на

- 1

(обратите неравенство)

(- (2 v + 1) (v - 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

После упрощения получаем

(2 v + 1) (v - 1) > 0

Определите интервалы

Найдите знаки множителей

(2 v + 1) (v - 1)

Найдите признаки

2 v + 1

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 = 0

Переместите

1

вправо

2 v + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

2 v = - 1

2 v = - 1

Разделите обе стороны на

2

2 v = - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

v = - \frac{1}{2}

v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0

Переместите

1

вправо

2 v + 1 < 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

После упрощения получаем

2 v < - 1

2 v < - 1

Разделите обе стороны на

2

2 v < - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

v < - \frac{1}{2}

v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0

Переместите

1

вправо

2 v + 1 > 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

После упрощения получаем

2 v > - 1

2 v > - 1

Разделите обе стороны на

2

2 v > - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

v > - \frac{1}{2}

v > - \frac{1}{2}

Найдите признаки

v - 1

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

Переместите

1

вправо

v - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

v - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

Переместите

1

вправо

v - 1 < 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

v - 1 + 1 < 0 + 1

После упрощения получаем

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

Переместите

1

вправо

v - 1 > 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

v - 1 + 1 > 0 + 1

После упрощения получаем

v > 1

v > 1

Свести в таблицу:

2 v + 1 v - 1 (2 v + 1) (v - 1) v < - \frac{1}{2} - - + v = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < v < 1 + - - v = 1 + 00 v > 1 + + +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

> 0

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

Делаем обратную замену

v = cos (u)

cos (u) < - \frac{1}{2} or cos (u) > 1

cos (u) < - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) < - \frac{1}{2}

Для

cos (x) < a

, если

- 1 < a \leq 1

, то

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn < u < 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Упростите

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

Упростите

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

После упрощения получаем

2 π - \frac{2 π}{3}

Преобразуйте элемент в дробь:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

Перемножьте числа:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - 2 π

Добавьте похожие элементы:

6 π - 2 π = 4 π

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) > 1 :

Неверно для всех

u \in R

cos (u) > 1

Диапазон

cos (u) : - 1 \leq cos (u) \leq 1

Определение диапазона функций

Диапазон базовой функции

cos

равен

- 1 \leq cos (u) \leq 1

- 1 \leq cos (u) \leq 1

cos (u) > 1 and - 1 \leq cos (u) \leq 1 :

Неверно

Пусть

y = cos (u)

Объедините интервалы

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Пересечение двух интервалов - это набор чисел, которые находятся в обоих интервалах

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Неверно для всех y \in R

Неверно для всех y \in R

Решения для u \in R нет

Неверно для всех u \in R

Объедините интервалы

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn or Неверно для всех u \in R

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Делаем обратную замену

2 x = u

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : \frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Если

a < u < b,

то

a < u and u < b

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x and 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x : x > \frac{π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x

Поменяйте стороны

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Упростите

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= x

Упростите

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{3} + πn

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} = \frac{π}{3}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 π}{3 \cdot 2}

Перемножьте числа:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{2 π}{6}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : x < \frac{2 π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Упростите

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= x

Упростите

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{2 π}{3} + πn

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} = \frac{2 π}{3}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 π}{3 \cdot 2}

Перемножьте числа:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{4 π}{6}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{2 π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

Объедините интервалы

x > \frac{π}{3} + πn and x < \frac{2 π}{3} + πn

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

cos(2x)<cos(4x)

Решение

Решение

Популярные примеры