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tan(x)<= cos(x)

Solución

tan (x) \leq cos (x)

Solución

2 πn \leq x \leq 0.66623 \dots + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x \leq π - 0.66623 \dots + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x \leq 2 π + 2 πn

Notación de intervalos

[2 πn, 0.66623 \dots + 2 πn] \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, π - 0.66623 \dots + 2 πn] \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, 2 π + 2 πn]

Notación decimal

2 πn \leq x \leq 0.66623 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x \leq 2.47535 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x \leq 6.28318 \dots + 2 πn

Pasos de solución

tan (x) \leq cos (x)

Mover

cos (x)

al lado izquierdo

tan (x) \leq cos (x)

Restar

cos (x)

de ambos lados

tan (x) - cos (x) \leq cos (x) - cos (x)

tan (x) - cos (x) \leq 0

tan (x) - cos (x) \leq 0

Periodicidad de

tan (x) - cos (x) : 2 π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

tan (x), cos (x)

Periodicidad de

tan (x) : π

La periodicidad de

: t an (x)

π

= π

Periodicidad de

cos (x) : 2 π

La periodicidad de

: cos (x)

2 π

= 2 π

Combinar períodos:

π, 2 π

= 2 π

Expresar con seno, coseno

tan (x) - cos (x) \leq 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - cos (x) \leq 0

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - cos (x) \leq 0

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - cos (x) : \frac{sin ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - cos (x)

Convertir a fracción:

cos (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

sin (x) - cos (x) cos (x) = sin (x) - cos^{2} (x)

sin (x) - cos (x) cos (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= sin (x) - cos^{2} (x)

= \frac{sin ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{sin ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

para

0 \leq x < 2 π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{sin ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{sin ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0.66623 \dots, x = π - 0.66623 \dots

\frac{sin ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) - cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- cos^{2} (x) + sin (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - (1 - sin^{2} (x)) + sin (x)

- (1 - sin^{2} (x)) : - 1 + sin^{2} (x)

- (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis

= - (1) - (- sin^{2} (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (x)

= - 1 + sin^{2} (x) + sin (x)

- 1 + sin (x) + sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 + sin (x) + sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 1 + u + u^{2} = 0

- 1 + u + u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 + u + u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} + u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Sumar:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = arcsin (\frac{5 - 1}{2}), x = π - arcsin (\frac{5 - 1}{2})

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, 0 \leq x < 2 π

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = arcsin (\frac{5 - 1}{2}), x = π - arcsin (\frac{5 - 1}{2})

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}, 0 \leq x < 2 π :

Sin solución

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}, 0 \leq x < 2 π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (\frac{5 - 1}{2}), x = π - arcsin (\frac{5 - 1}{2})

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.66623 \dots, x = π - 0.66623 \dots

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Encontrar los ceros del denominador

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

0.66623 \dots, \frac{π}{2}, π - 0.66623 \dots, \frac{3 π}{2}

Identificar los intervalos

0 < x < 0.66623 \dots, 0.66623 \dots < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π - 0.66623 \dots, π - 0.66623 \dots < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Resumir en una tabla:

sin (x) - cos^{2} (x) cos (x) \frac{s i n ( x ) - c o s ^{2} ( x )}{c o s ( x )} x = 0 - + - 0 < x < 0.66623 \dots - + - x = 0.66623 \dots 0 + 0 0.66623 \dots < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} + 0 Sin definir \frac{π}{2} < x < π - 0.66623 \dots + - - x = π - 0.66623 \dots 0 - 0 π - 0.66623 \dots < x < \frac{3 π}{2} - - + x = \frac{3 π}{2} - 0 Sin definir \frac{3 π}{2} < x < 2 π - + - x = 2 π - + -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

x = 0 or 0 < x < 0.66623 \dots or x = 0.66623 \dots or \frac{π}{2} < x < π - 0.66623 \dots or x = π - 0.66623 \dots or \frac{3 π}{2} < x < 2 π or x = 2 π

Mezclar intervalos sobrepuestos

0 \leq x \leq 0.66623 \dots or \frac{π}{2} < x \leq π - 0.66623 \dots or \frac{3 π}{2} < x < 2 π or x = 2 π