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受欢迎的三角函数 >

sin(x)+cos^2(x)<1

解答

sin (x) + cos^{2} (x) < 1

解答

- π + 2 πn < x < 2 πn

+2

间隔符号

(- π + 2 πn, 2 πn)

十进制

- 3.14159 \dots + 2 πn < x < 2 πn

求解步骤

sin (x) + cos^{2} (x) < 1

利用以下特性:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

因此

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (x) + 1 - sin^{2} (x) < 1

令

: u = sin (x)

u + 1 - u^{2} < 1

u + 1 - u^{2} < 1 : u < 0 or u > 1

u + 1 - u^{2} < 1

改写为标准形式

u + 1 - u^{2} < 1

两边减去

1

u + 1 - u^{2} - 1 < 1 - 1

化简

- u^{2} + u < 0

- u^{2} + u < 0

分解

- u^{2} + u : - u (u - 1)

- u^{2} + u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

因式分解出通项

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) < 0

两边乘以

- 1

（改变不等式符号）

(- u (u - 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

化简

u (u - 1) > 0

确定区间

确定

u (u - 1)

符号

确定

u

符号

u = 0

u < 0

u > 0

确定

u - 1

符号

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

将

1

到右边

u - 1 = 0

两边加上

1

u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

将

1

到右边

u - 1 < 0

两边加上

1

u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

将

1

到右边

u - 1 > 0

两边加上

1

u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

u > 1

u > 1

总结如下表：

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

确定满足所需条件的区间：

> 0

u < 0 or u > 1

u < 0 or u > 1

u < 0 or u > 1

u = sin (x)

代回

sin (x) < 0 or sin (x) > 1

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

对于

sin (x) < a

，若

- 1 < a \leq 1

，则

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

化简

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

化简

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

化简

- π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) > 1 :

对所有

x \in R

为假

sin (x) > 1

sin (x)

的值域:

- 1 \leq sin (x) \leq 1

函数值域定义

基本

sin

函数的值域为

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

假

令

y = sin (x)

合并区间

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y > 1

and

- 1 \leq y \leq 1

对所有 y \in R 为假

对所有 y \in R 为假

x \in R 无解

对所有 x \in R 为假

合并区间

- π + 2 πn < x < 2 πn or 对所有 x \in R 为假

合并重叠的区间

- π + 2 πn < x < 2 πn

流行的例子

-2cos(x+pi/6)>1

- 2 cos (x + \frac{π}{6}) > 1

tan(x)*sin(x)> 1/(2cos(x))

tan (x) \cdot sin (x) > \frac{1}{2 cos ( x )}

solvefor c,sin(xcos(2x))<= 1

so l v e f or c, sin (x cos (2 x)) \leq 1

cos(5x)cos(x/4)-sin(5x)sin(x/4)>=-(sqrt(2))/2

cos (5 x) cos (\frac{x}{4}) - sin (5 x) sin (\frac{x}{4}) \geq - \frac{2}{2}

2sin(x/2)-1>= 0

2 sin (\frac{x}{2}) - 1 \geq 0