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Popular >

(3tan(x)-tan^3(x))/(1-tan^2(x))>0

Solución

\frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} > 0

Solución

πn < x < \frac{π}{4} + πn or \frac{π}{3} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{2 π}{3} + πn < x < \frac{3 π}{4} + πn

Notación de intervalos

(πn, \frac{π}{4} + πn) \cup (\frac{π}{3} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (\frac{2 π}{3} + πn, \frac{3 π}{4} + πn)

Notación decimal

πn < x < 0.78539 \dots + πn or 1.04719 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or 2.09439 \dots + πn < x < 2.35619 \dots + πn

Pasos de solución

\frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} > 0

Sea:

u = tan (x)

\frac{3 u - u ^{3}}{1 - u ^{2}} > 0

\frac{3 u - u ^{3}}{1 - u ^{2}} > 0 : - 3 < u < - 1 or 0 < u < 1 or u > 3

\frac{3 u - u ^{3}}{1 - u ^{2}} > 0

Factorizar

\frac{3 u - u ^{3}}{1 - u ^{2}} : \frac{- u ( u + 3 ) ( u - 3 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

\frac{3 u - u ^{3}}{1 - u ^{2}}

Factorizar

- u^{2} + 1 : - (u + 1) (u - 1)

- u^{2} + 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (u^{2} - 1)

Factorizar

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= - (u + 1) (u - 1)

= \frac{3 u - u ^{3}}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

Factorizar

- u^{3} + 3 u : - u (u + 3) (u - 3)

- u^{3} + 3 u

Factorizar el termino común

- u : - u (u^{2} - 3)

- u^{3} + 3 u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= - u^{2} u + 3 u

Factorizar el termino común

- u

= - u (u^{2} - 3)

= - u (u^{2} - 3)

Factorizar

u^{2} - 3 : (u + 3) (u - 3)

u^{2} - 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= u^{2} - (3)^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - (3)^{2} = (u + 3) (u - 3)

= (u + 3) (u - 3)

= - u (u + 3) (u - 3)

= \frac{- u ( u + 3 ) ( u - 3 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

\frac{- u ( u + 3 ) ( u - 3 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )} > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

\frac{- u ( u + 3 ) ( u - 3 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

Encontrar los signos de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Encontrar los signos de

u + 3

u + 3 = 0 : u = - 3

u + 3 = 0

Mover

3

al lado derecho

u + 3 = 0

Restar

3

de ambos lados

u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplificar

u = - 3

u = - 3

u + 3 < 0 : u < - 3

u + 3 < 0

Mover

3

al lado derecho

u + 3 < 0

Restar

3

de ambos lados

u + 3 - 3 < 0 - 3

Simplificar

u < - 3

u < - 3

u + 3 > 0 : u > - 3

u + 3 > 0

Mover

3

al lado derecho

u + 3 > 0

Restar

3

de ambos lados

u + 3 - 3 > 0 - 3

Simplificar

u > - 3

u > - 3

Encontrar los signos de

u - 3

u - 3 = 0 : u = 3

u - 3 = 0

Mover

3

al lado derecho

u - 3 = 0

Sumar

3

a ambos lados

u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

u = 3

u = 3

u - 3 < 0 : u < 3

u - 3 < 0

Mover

3

al lado derecho

u - 3 < 0

Sumar

3

a ambos lados

u - 3 + 3 < 0 + 3

Simplificar

u < 3

u < 3

u - 3 > 0 : u > 3

u - 3 > 0

Mover

3

al lado derecho

u - 3 > 0

Sumar

3

a ambos lados

u - 3 + 3 > 0 + 3

Simplificar

u > 3

u > 3

Encontrar los signos de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Encontrar los signos de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Encontrar puntos de singularidad

Encontrar los ceros del denominador

- (u + 1) (u - 1) : u = - 1, u = 1

- (u + 1) (u - 1) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 1, u = 1

Resumir en una tabla:

u u + 3 u - 3 u + 1 u - 1 \frac{- u ( u + 3 ) ( u - 3 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )} u < - 3 - - - - - - u = - 3 - 0 - - - 0 - 3 < u < - 1 - + - - - + u = - 1 - + - 0 - Sin definir - 1 < u < 0 - + - + - - u = 0 0 + - + - 0 0 < u < 1 + + - + - + u = 1 + + - + 0 Sin definir 1 < u < 3 + + - + + - u = 3 + + 0 + + 0 u > 3 + + + + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

- 3 < u < - 1 or 0 < u < 1 or u > 3

- 3 < u < - 1 or 0 < u < 1 or u > 3

- 3 < u < - 1 or 0 < u < 1 or u > 3

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

- 3 < tan (x) < - 1 or 0 < tan (x) < 1 or tan (x) > 3

- 3 < tan (x) < - 1 : \frac{2 π}{3} + πn < x < \frac{3 π}{4} + πn

- 3 < tan (x) < - 1

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- 3 < tan (x) and tan (x) < - 1

- 3 < tan (x) : - \frac{π}{3} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

- 3 < tan (x)

Intercambiar lados

tan (x) > - 3

tan (x) > a

entonces

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (- 3) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Simplificar

arctan (- 3) : - \frac{π}{3}

arctan (- 3)

Utilizar la siguiente propiedad:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 3) = - arctan (3)

= - arctan (3)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arctan (3) = \frac{π}{3}

arctan (3)

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

= - \frac{π}{3}

- \frac{π}{3} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < - 1 : - \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{4} + πn

tan (x) < - 1

tan (x) < a

entonces

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (- 1) + πn

Simplificar

arctan (- 1) : - \frac{π}{4}

arctan (- 1)

Utilizar la siguiente propiedad:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 1) = - arctan (1)

= - arctan (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arctan (1) = \frac{π}{4}

arctan (1)

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

- \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{4} + πn

Combinar los rangos

- \frac{π}{3} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{4} + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{2 π}{3} + πn < x < \frac{3 π}{4} + πn

0 < tan (x) < 1 : πn < x < \frac{π}{4} + πn

0 < tan (x) < 1

a < u < b

entonces

a < u and u < b

0 < tan (x) and tan (x) < 1

0 < tan (x) : πn < x < \frac{π}{2} + πn

0 < tan (x)

Intercambiar lados

tan (x) > 0

tan (x) > a

entonces

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (0) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Simplificar

arctan (0) : 0

arctan (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arctan (0) = 0

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= 0

0 + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Simplificar

πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 1 : - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

tan (x) < 1

tan (x) < a

entonces

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (1) + πn

Simplificar

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Combinar los rangos

πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

πn < x < \frac{π}{4} + πn

tan (x) > 3 : \frac{π}{3} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) > 3

tan (x) > a

entonces

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (3) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Simplificar

arctan (3) : \frac{π}{3}

arctan (3)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arctan (3) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Combinar los rangos

\frac{2 π}{3} + πn < x < \frac{3 π}{4} + πn or πn < x < \frac{π}{4} + πn or \frac{π}{3} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

πn < x < \frac{π}{4} + πn or \frac{π}{3} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{2 π}{3} + πn < x < \frac{3 π}{4} + πn

Ejemplos populares

cos(x)+1/2 >0,0pi<= x<= 2pi

cos (x) + \frac{1}{2} > 0, 0 π \leq x \leq 2 π

cos(x)>32

cos (x) > 32

0.5sin(x+pi/6)>= (sqrt(3))/4

0.5 sin (x + \frac{π}{6}) \geq \frac{3}{4}

sin(x)< 1/3

sin (x) < \frac{1}{3}

tan(x)<-\sqrt[4]{5}