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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)<= sin(x)<= (sqrt(3))/2

Lösung

cos (x) \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

Lösung

\frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

Intervall-Notation

[\frac{π}{4} + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn] \cup [\frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{5 π}{4} + 2 πn]

Dezimale

0.78539 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.04719 \dots + 2 πn or 2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 3.92699 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

cos (x) \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

cos (x) \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

cos (x) \leq sin (x) : \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) \leq sin (x)

Verschiebe

sin (x)

auf die linke Seite

cos (x) \leq sin (x)

Subtrahiere

sin (x)

von beiden Seiten

cos (x) - sin (x) \leq sin (x) - sin (x)

cos (x) - sin (x) \leq 0

cos (x) - sin (x) \leq 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (x) - sin (x) = 2 cos (\frac{π}{4} + x)

2 cos (\frac{π}{4} + x) \leq 0

Teile beide Seiten durch

2

2 cos (\frac{π}{4} + x) \leq 0

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 cos ( \frac{π}{4} + x )}{2} \leq \frac{0}{2}

Vereinfache

cos (\frac{π}{4} + x) \leq 0

cos (\frac{π}{4} + x) \leq 0

Für

cos (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn \leq (\frac{π}{4} + x) \leq 2 π - arccos (0) + 2 πn

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

arccos (0) + 2 πn \leq \frac{π}{4} + x and \frac{π}{4} + x \leq 2 π - arccos (0) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn \leq \frac{π}{4} + x : x \geq 2 πn + \frac{π}{4}

arccos (0) + 2 πn \leq \frac{π}{4} + x

Tausche die Seiten

\frac{π}{4} + x \geq arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

arccos (0) + 2 πn : \frac{π}{2} + 2 πn

arccos (0) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{π}{4} + x \geq \frac{π}{2} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

\frac{π}{4} + x \geq \frac{π}{2} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} \geq \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} \geq \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} : x

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} \geq 0

= x

Vereinfache

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 4 : 4

2, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

4

Für

\frac{π}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= \frac{π 2}{4} - \frac{π}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

2 π - π = π

= 2 πn + \frac{π}{4}

x \geq 2 πn + \frac{π}{4}

x \geq 2 πn + \frac{π}{4}

x \geq 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + x \leq 2 π - arccos (0) + 2 πn : x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

\frac{π}{4} + x \leq 2 π - arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

2 π - arccos (0) + 2 πn : 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn

2 π - arccos (0) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{π}{4} + x \leq 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

\frac{π}{4} + x \leq 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} \leq 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} \leq 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} : x

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} \leq 0

= x

Vereinfache

2 π - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

2 π - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 π + 2 πn - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 4 : 4

2, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

4

Für

\frac{π}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= - \frac{π 2}{4} - \frac{π}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- 2 π - π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

x \leq 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

x \leq 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

x \leq 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

Vereinfache

2 π - \frac{3 π}{4} : \frac{5 π}{4}

2 π - \frac{3 π}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 π = \frac{2 π 4}{4}

= \frac{2 π 4}{4} - \frac{3 π}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 4 - 3 π}{4}

2 π 4 - 3 π = 5 π

2 π 4 - 3 π

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= 8 π - 3 π

Addiere gleiche Elemente:

8 π - 3 π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{4}

x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

x \geq 2 πn + \frac{π}{4} and x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} : - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Für

sin (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (\frac{3}{2}) : - \frac{4 π}{3}

- π - arcsin (\frac{3}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{3}

Vereinfache

- π - \frac{π}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 3}{3}

= - \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - π}{3}

Addiere gleiche Elemente:

- 3 π - π = - 4 π

= \frac{- 4 π}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 π}{3}

= - \frac{4 π}{3}

Vereinfache

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

\frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn and - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

Beliebte Beispiele

0<= θ<360sin(71)

0 \leq θ < 360 sin (7 1^{\circ})

1<= tan(x)<= 3^{1/2}

1 \leq tan (x) \leq 3^{\frac{1}{2}}

-1<(cos(x))/7 <1

- 1 < \frac{cos ( x )}{7} < 1

sec(θ)=(sqrt(5))/2 \land sin(θ)<= 0

sec (θ) = \frac{5}{2} and sin (θ) \leq 0

tan(θ)<0\land sin(θ)>0

tan (θ) < 0 and sin (θ) > 0