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Popular Trigonometria >

tan^2(54)

Solução

tan^{2} (5 4^{\circ})

Solução

\frac{10 + 2 5}{5} - 1

Decimal

1.89442 \dots

Passos da solução

tan^{2} (5 4^{\circ})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

sec^{2} (5 4^{\circ}) - 1

tan^{2} (5 4^{\circ})

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= sec^{2} (5 4^{\circ}) - 1

= sec^{2} (5 4^{\circ}) - 1

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

sec (5 4^{\circ}) = \frac{2 ( 5 + 5 ) 5 - 5}{10}

sec (5 4^{\circ})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

\frac{1}{cos ( 5 4 ^{\circ} )}

sec (5 4^{\circ})

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( 5 4 ^{\circ} )}

= \frac{1}{cos ( 5 4 ^{\circ} )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

cos (5 4^{\circ}) = \frac{2 5 - 5}{4}

cos (5 4^{\circ})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

sin (3 6^{\circ})

cos (5 4^{\circ})

Usar a seguinte identidade:

cos (x) = sin (9 0^{\circ} - x)

= sin (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ})

Simplificar

= sin (3 6^{\circ})

= sin (3 6^{\circ})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

\frac{2 5 - 5}{4}

sin (3 6^{\circ})

Demostrar que:

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utilizar o seguinte produto para a identidade de suma de ângulos:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Demostrar que:

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Dividir ambos os lados por

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Usar a seguinte identidade:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Dividir ambos os lados por

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Dividir ambos os lados por

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Substituir

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

\frac{1}{2} = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

sin (5 4^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Demostrar que:

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Utilizar a regra de fatoração:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})))

Simplificar

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 2 (2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}))

Demostrar que:

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Dividir ambos os lados por

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Usar a seguinte identidade:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Dividir ambos os lados por

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Dividir ambos os lados por

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Substituir

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 1

Substituir

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

Simplificar

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

Adicionar

\frac{1}{4}

a ambos os lados

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

Simplificar

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} = \frac{5}{4}

Obter a raiz quadrada de ambos os lados

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \pm \frac{5}{4}

cos (3 6^{\circ})

não pode ser negativa

sin (1 8^{\circ})

não pode ser negativa

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Adicionar as seguintes equações

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{2}

((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

Simplificar

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

Elevar ambos os lados ao quadrado

(cos (3 6^{\circ}))^{2} = (\frac{5 + 1}{4})^{2}

Usar a seguinte identidade:

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

sin^{2} (3 6^{\circ}) = 1 - cos^{2} (3 6^{\circ})

Substituir

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

sin^{2} (3 6^{\circ}) = 1 - (\frac{5 + 1}{4})^{2}

Simplificar

sin^{2} (3 6^{\circ}) = \frac{5 - 5}{8}

Obter a raiz quadrada de ambos os lados

sin (3 6^{\circ}) = \pm \frac{5 - 5}{8}

sin (3 6^{\circ})

não pode ser negativa

sin (3 6^{\circ}) = \frac{5 - 5}{8}

Simplificar

sin (3 6^{\circ}) = \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

= \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

Simplificar

= \frac{2 5 - 5}{4}

= \frac{2 5 - 5}{4}

= \frac{1}{\frac{2 5 - 5}{4}}

Simplificar

\frac{1}{\frac{2 5 - 5}{4}} : \frac{2 ( 5 + 5 ) 5 - 5}{10}

\frac{1}{\frac{2 5 - 5}{4}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{4}{2 5 - 5}

Fatorar

4 : 2^{2}

Fatorar

4 = 2^{2}

= \frac{2 ^{2}}{2 5 - 5}

Cancelar

\frac{2 ^{2}}{2 5 - 5} : \frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{5 - 5}

\frac{2 ^{2}}{2 5 - 5}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{2}}{2 ^{\frac{1}{2}} 5 - 5}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{2}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{2 - \frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}{5 - 5}

Subtrair:

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{5 - 5}

= \frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{5 - 5}

2^{\frac{3}{2}} = 22

2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Simplificar

= 22

= \frac{2 2}{5 - 5}

Racionalizar

\frac{2 2}{5 - 5} : \frac{2 ( 5 + 5 ) 5 - 5}{10}

\frac{2 2}{5 - 5}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{5 - 5}{5 - 5}

= \frac{2 2 5 - 5}{5 - 5 5 - 5}

5 - 5 5 - 5 = 5 - 5

5 - 5 5 - 5

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

5 - 5 5 - 5 = 5 - 5

= 5 - 5

= \frac{2 2 5 - 5}{5 - 5}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{5 + 5}{5 + 5}

= \frac{2 2 5 - 5 ( 5 + 5 )}{( 5 - 5 ) ( 5 + 5 )}

(5 - 5) (5 + 5) = 20

(5 - 5) (5 + 5)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 5, b = 5

= 5^{2} - (5)^{2}

Simplificar

5^{2} - (5)^{2} : 20

5^{2} - (5)^{2}

5^{2} = 25

5^{2}

5^{2} = 25

= 25

(5)^{2} = 5

(5)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (5^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 5

= 25 - 5

Subtrair:

25 - 5 = 20

= 20

= 20

= \frac{2 2 ( 5 + 5 ) 5 - 5}{20}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{2 ( 5 + 5 ) 5 - 5}{10}

= \frac{2 ( 5 + 5 ) 5 - 5}{10}

= \frac{2 ( 5 + 5 ) 5 - 5}{10}

= (\frac{2 ( 5 + 5 ) 5 - 5}{10})^{2} - 1

Simplificar

(\frac{2 ( 5 + 5 ) 5 - 5}{10})^{2} - 1 : \frac{10 + 2 5}{5} - 1

(\frac{2 ( 5 + 5 ) 5 - 5}{10})^{2} - 1

(\frac{2 ( 5 + 5 ) 5 - 5}{10})^{2} = \frac{10 + 2 5}{5}

(\frac{2 ( 5 + 5 ) 5 - 5}{10})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 2 ( 5 + 5 ) 5 - 5 ) ^{2}}{1 0 ^{2}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(2 (5 + 5) 5 - 5)^{2} = (2)^{2} (5 - 5)^{2} (5 + 5)^{2}

= \frac{( 2 ) ^{2} ( 5 - 5 ) ^{2} ( 5 + 5 ) ^{2}}{1 0 ^{2}}

(2)^{2} : 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 2

= \frac{2 ( 5 + 5 ) ^{2} ( 5 - 5 ) ^{2}}{1 0 ^{2}}

(5 - 5)^{2} : 5 - 5

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((5 - 5)^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (5 - 5)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 5 - 5

= \frac{2 ( 5 + 5 ) ^{2} ( 5 - 5 )}{1 0 ^{2}}

Fatorar

1 0^{2} : 2^{2} \cdot 5^{2}

Fatorar

10 = 2 \cdot 5

= (2 \cdot 5)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(ab)^{c} = a^{c} b^{c}

= 2^{2} \cdot 5^{2}

= \frac{2 ( 5 + 5 ) ^{2} ( 5 - 5 )}{2 ^{2} \cdot 5 ^{2}}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{( 5 + 5 ) ^{2} ( 5 - 5 )}{5 ^{2} \cdot 2}

(5 + 5)^{2} = 30 + 105

(5 + 5)^{2}

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 5, b = 5

= 5^{2} + 2 \cdot 55 + (5)^{2}

Simplificar

5^{2} + 2 \cdot 55 + (5)^{2} : 30 + 105

5^{2} + 2 \cdot 55 + (5)^{2}

5^{2} = 25

5^{2}

5^{2} = 25

= 25

2 \cdot 55 = 105

2 \cdot 55

Multiplicar os números:

2 \cdot 5 = 10

= 105

(5)^{2} = 5

(5)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (5^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 5

= 25 + 105 + 5

Somar:

25 + 5 = 30

= 30 + 105

= 30 + 105

= \frac{( 30 + 10 5 ) ( 5 - 5 )}{5 ^{2} \cdot 2}

Fatorar

30 + 105 : 10 (3 + 5)

30 + 105

Reescrever como

= 10 \cdot 3 + 105

Fatorar o termo comum

10

= 10 (3 + 5)

= \frac{10 ( 3 + 5 ) ( 5 - 5 )}{5 ^{2} \cdot 2}

Cancelar

\frac{10 ( 3 + 5 ) ( 5 - 5 )}{5 ^{2} \cdot 2} : \frac{( 3 + 5 ) ( 5 - 5 )}{5}

\frac{10 ( 3 + 5 ) ( 5 - 5 )}{5 ^{2} \cdot 2}

Dividir:

\frac{10}{2} = 5

= \frac{5 ( 3 + 5 ) ( 5 - 5 )}{5 ^{2}}

Eliminar o fator comum:

5

= \frac{( 3 + 5 ) ( 5 - 5 )}{5}

= \frac{( 3 + 5 ) ( 5 - 5 )}{5}

Expandir

(3 + 5) (5 - 5) : 10 + 25

(3 + 5) (5 - 5)

Aplique o método FOIL:

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a = 3, b = 5, c = 5, d = - 5

= 3 \cdot 5 + 3 (- 5) + 5 \cdot 5 + 5 (- 5)

Aplicar as regras dos sinais

+ (- a) = - a

= 3 \cdot 5 - 35 + 55 - 55

Simplificar

3 \cdot 5 - 35 + 55 - 55 : 10 + 25

3 \cdot 5 - 35 + 55 - 55

Somar elementos similares:

- 35 + 55 = 25

= 3 \cdot 5 + 25 - 55

Multiplicar os números:

3 \cdot 5 = 15

= 15 + 25 - 55

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

55 = 5

= 15 + 25 - 5

Subtrair:

15 - 5 = 10

= 10 + 25

= 10 + 25

= \frac{10 + 2 5}{5}

= \frac{10 + 2 5}{5} - 1

= \frac{10 + 2 5}{5} - 1

Exemplos populares

2(cos(pi/4)+isin(pi/4))

2 (cos (\frac{π}{4}) + i sin (\frac{π}{4}))

(12)/(cos(35))

\frac{12}{cos ( 3 5 ^{\circ} )}

-1/2 sin(0)

- \frac{1}{2} sin (0)

3.9tan(18)

3.9 tan (1 8^{\circ})

-4pi^2cos((5pi)/4)

- 4 π^{2} cos (\frac{5 π}{4})