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Beliebt Trigonometrie >

(2tan((7pi)/8))/(1-2tan^2((7pi)/8))

Lösung

\frac{2 tan ( \frac{7 π}{8} )}{1 - 2 tan ^{2} ( \frac{7 π}{8} )}

Lösung

- \frac{6 + 2 2}{7}

Dezimale

- 1.26120 \dots

Schritte zur Lösung

\frac{2 tan ( \frac{7 π}{8} )}{1 - 2 tan ^{2} ( \frac{7 π}{8} )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan (\frac{7 π}{8}) = - 3 - 22

tan (\frac{7 π}{8})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

- \frac{1 - cos ( \frac{7 π}{4} )}{1 + cos ( \frac{7 π}{4} )}

tan (\frac{7 π}{8})

Schreibe

tan (\frac{7 π}{8})

als

tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})

= tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})

Verwende die Halbwinkel Identität:

tan (\frac{θ}{2}) = - \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

Verwende die folgenden Identitäten

tan (θ) = \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Quadriere beide Seiten

tan^{2} (θ) = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Tausche die Seiten

2 sin^{2} (θ) - 1 = - cos (2 θ)

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin^{2} (θ) = 1 - cos (2 θ)

Teile beide Seiten durch

2

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Tausche die Seiten

2 cos^{2} (θ) - 1 = cos (2 θ)

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin^{2} (θ) = 1 + cos (2 θ)

Teile beide Seiten durch

2

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

tan^{2} (θ) = \frac{\frac{1 - c o s ( 2 θ )}{2}}{\frac{1 + c o s ( 2 θ )}{2}}

Vereinfache

tan^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

Ersetze

θ

mit

\frac{θ}{2}

tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}

Vereinfache

tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

range [0, \frac{π}{2}] [\frac{π}{2}, π] quadrant I II tan positive negative

tan (\frac{θ}{2}) = - \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

= - \frac{1 - cos ( \frac{7 π}{4} )}{1 + cos ( \frac{7 π}{4} )}

= - \frac{1 - cos ( \frac{7 π}{4} )}{1 + cos ( \frac{7 π}{4} )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (\frac{7 π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (\frac{7 π}{4})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (π) cos (\frac{3 π}{4}) - sin (π) sin (\frac{3 π}{4})

cos (\frac{7 π}{4})

Schreibe

cos (\frac{7 π}{4})

als

cos (π + \frac{3 π}{4})

= cos (π + \frac{3 π}{4})

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (π) cos (\frac{3 π}{4}) - sin (π) sin (\frac{3 π}{4})

= cos (π) cos (\frac{3 π}{4}) - sin (π) sin (\frac{3 π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (π) = (- 1)

cos (π)

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{2}

cos (\frac{3 π}{4})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{2}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (π) = 0

sin (π)

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 0

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{3 π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (\frac{3 π}{4})

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= (- 1) (- \frac{2}{2}) - 0 \cdot \frac{2}{2}

Vereinfache

= \frac{2}{2}

= - \frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}}

Vereinfache

- \frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}} : - 3 - 22

- \frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}} = \frac{2 - 1}{2 + 1}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}}

Füge

1 + \frac{2}{2}

zusammen:

\frac{2 + 2}{2}

1 + \frac{2}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 + 2}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 + 2}{2}

= \frac{1 - \frac{2}{2}}{\frac{2 + 2}{2}}

Füge

1 - \frac{2}{2}

zusammen:

\frac{2 - 2}{2}

1 - \frac{2}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 2}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 - 2}{2}

= \frac{\frac{2 - 2}{2}}{\frac{2 + 2}{2}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 - 2 ) \cdot 2}{2 ( 2 + 2 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 - 2}{2 + 2}

Faktorisiere

2 - 2 : 2 (2 - 1)

2 - 2

2 = 22

= 22 - 2

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 - 1)

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2 + 2}

Faktorisiere

2 + 2 : 2 (2 + 1)

2 + 2

2 = 22

= 22 + 2

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 + 1)

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2 ( 2 + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 - 1}{2 + 1}

= - \frac{2 - 1}{1 + 2}

\frac{2 - 1}{2 + 1} = 3 - 22

\frac{2 - 1}{2 + 1}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 - 1}{2 - 1}

= \frac{( 2 - 1 ) ( 2 - 1 )}{( 2 + 1 ) ( 2 - 1 )}

(2 - 1) (2 - 1) = 3 - 22

(2 - 1) (2 - 1)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

(2 - 1) (2 - 1) = (2 - 1)^{1 + 1}

= (2 - 1)^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= (2 - 1)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2, b = 1

= (2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2}

Vereinfache

(2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2} : 3 - 22

(2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1

(2)^{2} = 2

(2)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

22 \cdot 1 = 22

22 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 22

= 2 - 22 + 1

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 3 - 22

= 3 - 22

(2 + 1) (2 - 1) = 1

(2 + 1) (2 - 1)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 2, b = 1

= (2)^{2} - 1^{2}

Vereinfache

(2)^{2} - 1^{2} : 1

(2)^{2} - 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2)^{2} - 1

(2)^{2} = 2

(2)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

= 2 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 1 = 1

= 1

= 1

= \frac{3 - 2 2}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= 3 - 22

= - 3 - 22

= - 3 - 22

= \frac{2 ( - 3 - 2 2 )}{1 - 2 ( - 3 - 2 2 ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{2 ( - 3 - 2 2 )}{1 - 2 ( - 3 - 2 2 ) ^{2}} : - \frac{6 + 2 2}{7}

\frac{2 ( - 3 - 2 2 )}{1 - 2 ( - 3 - 2 2 ) ^{2}}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 3 - 2 2}{1 - 2 ( - 3 - 2 2 ) ^{2}}

1 - 2 (- 3 - 22)^{2} = 1 - 2 (3 - 22)^{2}

1 - 2 (- 3 - 22)^{2}

(- 3 - 22)^{2} = (3 - 22)^{2}

(- 3 - 22)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3 - 22)^{2} = (3 - 22)^{2}

= (3 - 22)^{2}

= 1 - 2 (3 - 22)^{2}

= \frac{- 2 3 - 2 2}{1 - 2 ( 3 - 2 2 ) ^{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 3 - 2 2}{1 - 2 ( 3 - 2 2 ) ^{2}}

(3 - 22)^{2} = 3 - 22

(3 - 22)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((3 - 22)^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (3 - 22)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3 - 22

= - \frac{2 3 - 2 2}{- 2 ( 3 - 2 2 ) + 1}

3 - 22 = 2 - 1

3 - 22

= 2 - 22 + 1

= (2)^{2} - 22 + (1)^{2}

1 = 1

1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

= (2)^{2} - 22 + 1^{2}

22 \cdot 1 = 22

22 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 22

= (2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2} = (2 - 1)^{2}

= (2 - 1)^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

(2 - 1)^{2} = 2 - 1

= 2 - 1

= - \frac{2 ( 2 - 1 )}{- 2 ( 3 - 2 2 ) + 1}

Multipliziere aus

1 - 2 (3 - 22) : 42 - 5

1 - 2 (3 - 22)

Multipliziere aus

- 2 (3 - 22) : - 6 + 42

- 2 (3 - 22)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 3, c = 22

= - 2 \cdot 3 - (- 2) \cdot 22

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

Vereinfache

- 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22 : - 6 + 42

- 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= - 6 + 2 \cdot 22

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - 6 + 42

= - 6 + 42

= 1 - 6 + 42

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 6 = - 5

= 42 - 5

= - \frac{2 ( 2 - 1 )}{4 2 - 5}

Rationalisiere

- \frac{2 ( 2 - 1 )}{4 2 - 5} : - \frac{6 + 2 2}{7}

- \frac{2 ( 2 - 1 )}{4 2 - 5}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{4 2 + 5}{4 2 + 5}

= - \frac{2 ( 2 - 1 ) ( 4 2 + 5 )}{( 4 2 - 5 ) ( 4 2 + 5 )}

2 (2 - 1) (42 + 5) = 6 + 22

2 (2 - 1) (42 + 5)

Multipliziere aus

(2 - 1) (42 + 5) : 3 + 2

(2 - 1) (42 + 5)

Wende Ausklammerungsregel an (VANI):

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a = 2, b = - 1, c = 42, d = 5

= 2 \cdot 42 + 2 \cdot 5 + (- 1) \cdot 42 + (- 1) \cdot 5

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= 422 + 52 - 1 \cdot 42 - 1 \cdot 5

Vereinfache

422 + 52 - 1 \cdot 42 - 1 \cdot 5 : 3 + 2

422 + 52 - 1 \cdot 42 - 1 \cdot 5

422 = 8

422

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8

1 \cdot 42 = 42

1 \cdot 42

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= 42

1 \cdot 5 = 5

1 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 5 = 5

= 5

= 8 + 52 - 42 - 5

Addiere gleiche Elemente:

52 - 42 = 2

= 8 + 2 - 5

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 5 = 3

= 3 + 2

= 3 + 2

= 2 (3 + 2)

Multipliziere aus

2 (3 + 2) : 6 + 22

2 (3 + 2)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = 3, c = 2

= 2 \cdot 3 + 22

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6 + 22

= 6 + 22

(42 - 5) (42 + 5) = 7

(42 - 5) (42 + 5)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 42, b = 5

= (42)^{2} - 5^{2}

Vereinfache

(42)^{2} - 5^{2} : 7

(42)^{2} - 5^{2}

(42)^{2} = 32

(42)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

= 4^{2} \cdot 2

4^{2} = 16

= 16 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 2 = 32

= 32

5^{2} = 25

5^{2}

5^{2} = 25

= 25

= 32 - 25

Subtrahiere die Zahlen:

32 - 25 = 7

= 7

= 7

= - \frac{6 + 2 2}{7}

= - \frac{6 + 2 2}{7}

= - \frac{6 + 2 2}{7}

Beliebte Beispiele

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