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cos(pi/8)+sin(pi/8)

Solución

cos (\frac{π}{8}) + sin (\frac{π}{8})

Solución

\frac{2 + 2}{2}

Notación decimal

1.30656 \dots

Pasos de solución

cos (\frac{π}{8}) + sin (\frac{π}{8})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

2 sin (\frac{3 π}{8})

sin (\frac{π}{8}) + cos (\frac{π}{8})

Reescribir como

= 2 (\frac{1}{2} sin (\frac{π}{8}) + \frac{1}{2} cos (\frac{π}{8}))

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (\frac{π}{8}) + sin (\frac{π}{4}) cos (\frac{π}{8}))

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (\frac{π}{8} + \frac{π}{4})

= 2 sin (\frac{π}{8} + \frac{π}{4})

Simplificar:

\frac{π}{8} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{8}

\frac{π}{8} + \frac{π}{4}

Mínimo común múltiplo de

8, 4 : 8

8, 4

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

8 : 2 \cdot 2 \cdot 2

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

8

4

= 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

= 8

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{π}{4} = \frac{π 2}{4 \cdot 2} = \frac{π 2}{8}

= \frac{π}{8} + \frac{π 2}{8}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + π 2}{8}

Sumar elementos similares:

π + 2 π = 3 π

= \frac{3 π}{8}

= 2 sin (\frac{3 π}{8})

= 2 sin (\frac{3 π}{8})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

sin (\frac{3 π}{8}) = \frac{2 + 2}{2}

sin (\frac{3 π}{8})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

\frac{1 - cos ( \frac{3 π}{4} )}{2}

sin (\frac{3 π}{8})

Escribir

sin (\frac{3 π}{8})

como

sin (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})

= sin (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})

Utilizar la identidad trigonométrica del medio ángulo:

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Sustituir

θ

con

\frac{θ}{2}

cos (θ) = 1 - 2 sin^{2} (\frac{θ}{2})

Intercambiar lados

2 sin^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 - cos (θ)

Dividir ambos lados entre

2

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

range [0, \frac{π}{2}] [\frac{π}{2}, π] [π, \frac{3 π}{2}] [\frac{3 π}{2}, 2 π] quadrant I II III I V sin positive positive negative negative cos positive negative negative positive

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

= \frac{1 - cos ( \frac{3 π}{4} )}{2}

= \frac{1 - cos ( \frac{3 π}{4} )}{2}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{2}

cos (\frac{3 π}{4})

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{2}{2}

= \frac{1 - ( - \frac{2}{2} )}{2}

Simplificar

\frac{1 - ( - \frac{2}{2} )}{2} : \frac{2 + 2}{2}

\frac{1 - ( - \frac{2}{2} )}{2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{1 + \frac{2}{2}}{2}

\frac{1 + \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 + 2}{4}

\frac{1 + \frac{2}{2}}{2}

Simplificar

1 + \frac{2}{2}

en una fracción:

\frac{2 + 2}{2}

1 + \frac{2}{2}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 + 2}{2}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 + 2}{2}

= \frac{\frac{2 + 2}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 + 2}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2}{4}

= \frac{2 + 2}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 + 2}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 + 2}{2}

= \frac{2 + 2}{2}

= 2 \frac{2 + 2}{2}

Simplificar

2 \frac{2 + 2}{2} : \frac{2 + 2}{2}

2 \frac{2 + 2}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 + 2 2}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} 2 + 2}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2 + 2}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Restar:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{2 + 2}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{2 + 2}{2}

Combinar los exponentes similares:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{2 + 2}{2}

\frac{2 + 2}{2} = \frac{2 + 1}{2}

\frac{2 + 2}{2}

Factorizar

2 + 2 : 2 (2 + 1)

2 + 2

2 = 22

= 22 + 2

Factorizar el termino común

2

= 2 (2 + 1)

= \frac{2 ( 2 + 1 )}{2}

Cancelar

\frac{2 ( 2 + 1 )}{2} : \frac{2 + 1}{2}

\frac{2 ( 2 + 1 )}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} ( 1 + 2 )}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2 + 1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Restar:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{2 + 1}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{2 + 1}{2}

= \frac{2 + 1}{2}

= \frac{2 + 1}{2}

\frac{2 + 1}{2} = \frac{2 + 2}{2}

\frac{2 + 1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{( 2 + 1 ) 2}{2 2}

(2 + 1) 2 = 2 + 2

(2 + 1) 2

= 2 (2 + 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = 2, c = 1

= 22 + 2 \cdot 1

= 22 + 1 \cdot 2

Simplificar

22 + 1 \cdot 2 : 2 + 2

22 + 1 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2 + 1 \cdot 2

Multiplicar:

1 \cdot 2 = 2

= 2 + 2

= 2 + 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2 + 2}{2}

= \frac{2 + 2}{2}

= \frac{2 + 2}{2}

Ejemplos populares

2(cos(300)+isin(300))

2 (cos (30 0^{\circ}) + i sin (30 0^{\circ}))

28*cos(30)

28 \cdot cos (3 0^{\circ})

arccos(4/(sqrt(42)))

arccos (\frac{4}{42})

-sin(-60)

- sin (- 6 0^{\circ})

arctan(-1.841)

arctan (- 1.841)