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tan(x)+sec(x)=3

Lösung

tan (x) + sec (x) = 3

Lösung

x = 0.92729 \dots + 2 πn

Grad

x = 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan (x) + sec (x) = 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

tan (x) + sec (x) - 3 = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - 3 = 0

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - 3 : \frac{sin ( x ) + 1 - 3 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - 3

Ziehe Brüche zusammen

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x )} - 3

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 = \frac{3 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x )} - \frac{3 cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) + 1 - 3 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x ) + 1 - 3 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) + 1 - 3 cos (x) = 0

Füge

3 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

sin (x) + 1 = 3 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(sin (x) + 1)^{2} = (3 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(3 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

(sin (x) + 1)^{2} - 9 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + sin (x))^{2} - 9 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 + sin (x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

(1 + sin (x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (x)) : 10 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 8

(1 + sin (x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (x))

(1 + sin (x))^{2} : 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Vereinfache

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 9 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

- 9 (1 - sin^{2} (x)) : - 9 + 9 sin^{2} (x)

- 9 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) sin^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 9 + 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 9 + 9 sin^{2} (x) : 10 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 8

1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 9 + 9 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 sin (x) + sin^{2} (x) + 9 sin^{2} (x) + 1 - 9

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (x) + 9 sin^{2} (x) = 10 sin^{2} (x)

= 2 sin (x) + 10 sin^{2} (x) + 1 - 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 9 = - 8

= 10 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 8

= 10 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 8

= 10 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 8

- 8 + 10 sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 8 + 10 sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 8 + 10 u^{2} + 2 u = 0

- 8 + 10 u^{2} + 2 u = 0 : u = \frac{4}{5}, u = - 1

- 8 + 10 u^{2} + 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} + 2 u - 8 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

10 u^{2} + 2 u - 8 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 10, b = 2, c = - 8

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 8 )}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 8 )}{2 \cdot 10}

2^{2} - 4 \cdot 10 (- 8) = 18

2^{2} - 4 \cdot 10 (- 8)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 8 = 320

= 2^{2} + 320

2^{2} = 4

= 4 + 320

Addiere die Zahlen:

4 + 320 = 324

= 324

Faktorisiere die Zahl:

324 = 1 8^{2}

= 1 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

1 8^{2} = 18

= 18

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 18}{2 \cdot 10}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 18}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- 2 - 18}{2 \cdot 10}

u = \frac{- 2 + 18}{2 \cdot 10} : \frac{4}{5}

\frac{- 2 + 18}{2 \cdot 10}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 18 = 16

= \frac{16}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{16}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{4}{5}

u = \frac{- 2 - 18}{2 \cdot 10} : - 1

\frac{- 2 - 18}{2 \cdot 10}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 18 = - 20

= \frac{- 20}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 20}{20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{20}{20}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{4}{5}, u = - 1

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{4}{5}, sin (x) = - 1

sin (x) = \frac{4}{5}, sin (x) = - 1

sin (x) = \frac{4}{5} : x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{4}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{4}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{4}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

tan (x) + sec (x) = 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

tan (x) + sec (x) = 3

ein, um zu lösen

tan (arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + sec (arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

tan (x) + sec (x) = 3

ein, um zu lösen

tan (π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + sec (π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

- 3 = 3

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

tan (x) + sec (x) = 3

ein, um zu lösen

tan (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + sec (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 3

Unbestimmt

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.92729 \dots + 2 πn

Beliebte Beispiele

cos^2(3x+pi/4)= 3/4

cos^{2} (3 x + \frac{π}{4}) = \frac{3}{4}

2sin(pi/3-x)-1=0

2 sin (\frac{π}{3} - x) - 1 = 0

-sqrt(2)sin(x)-1=0

- 2 sin (x) - 1 = 0

-3=cot^2(θ)+3csc(θ)

- 3 = cot^{2} (θ) + 3 csc (θ)

arccos(e^{-x})= pi/3

arccos (e^{- x}) = \frac{π}{3}