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cos(2t)-cos(t)=-0.5

Solución

cos (2 t) - cos (t) = - 0.5

Solución

t = 0.62831 \dots + 2 πn, t = 2 π - 0.62831 \dots + 2 πn, t = 1.88495 \dots + 2 πn, t = - 1.88495 \dots + 2 πn

Grados

t = 3 6^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = 32 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = 10 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = - 10 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (2 t) - cos (t) = - 0.5

Restar

- 0.5

de ambos lados

cos (2 t) - cos (t) + 0.5 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

0.5 + cos (2 t) - cos (t)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 0.5 + 2 cos^{2} (t) - 1 - cos (t)

Simplificar

0.5 + 2 cos^{2} (t) - 1 - cos (t) : 2 cos^{2} (t) - cos (t) - 0.5

0.5 + 2 cos^{2} (t) - 1 - cos (t)

Agrupar términos semejantes

= 2 cos^{2} (t) - cos (t) + 0.5 - 1

Sumar/restar lo siguiente:

0.5 - 1 = - 0.5

= 2 cos^{2} (t) - cos (t) - 0.5

= 2 cos^{2} (t) - cos (t) - 0.5

- 0.5 - cos (t) + 2 cos^{2} (t) = 0

Usando el método de sustitución

- 0.5 - cos (t) + 2 cos^{2} (t) = 0

Sea:

cos (t) = u

- 0.5 - u + 2 u^{2} = 0

- 0.5 - u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{1 - 5}{4}

- 0.5 - u + 2 u^{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

10

- 0.5 - u + 2 u^{2} = 0

To eliminate decimal points, multiply by 10 for every digit after the decimal pointThere is one digit to the right of the decimal point, therefore multiply by

10

- 0.5 \cdot 10 - u \cdot 10 + 2 u^{2} \cdot 10 = 0 \cdot 10

Simplificar

- 5 - 10 u + 20 u^{2} = 0

- 5 - 10 u + 20 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

20 u^{2} - 10 u - 5 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

20 u^{2} - 10 u - 5 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 20, b = - 10, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 20 ( - 5 )}{2 \cdot 20}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 20 ( - 5 )}{2 \cdot 20}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 20 (- 5) = 105

(- 10)^{2} - 4 \cdot 20 (- 5)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 10)^{2} + 4 \cdot 20 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} + 4 \cdot 20 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 20 \cdot 5 = 400

= 1 0^{2} + 400

1 0^{2} = 100

= 100 + 400

Sumar:

100 + 400 = 500

= 500

Descomposición en factores primos de

500 : 2^{2} \cdot 5^{3}

500

500

divida por

2500 = 250 \cdot 2

= 2 \cdot 250

250

divida por

2250 = 125 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 125

125

divida por

5125 = 25 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 25

25

divida por

525 = 5 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

2, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5^{3}

= 5^{3} \cdot 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 5 2^{2} 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 25 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{2} = 5

= 2 \cdot 55

Simplificar

= 105

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 10 5}{2 \cdot 20}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 10 5}{2 \cdot 20}, u_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 10 5}{2 \cdot 20}

u = \frac{- ( - 10 ) + 10 5}{2 \cdot 20} : \frac{1 + 5}{4}

\frac{- ( - 10 ) + 10 5}{2 \cdot 20}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{10 + 10 5}{2 \cdot 20}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{10 + 10 5}{40}

Factorizar

10 + 105 : 10 (1 + 5)

10 + 105

Reescribir como

= 10 \cdot 1 + 105

Factorizar el termino común

10

= 10 (1 + 5)

= \frac{10 ( 1 + 5 )}{40}

Eliminar los terminos comunes:

10

= \frac{1 + 5}{4}

u = \frac{- ( - 10 ) - 10 5}{2 \cdot 20} : \frac{1 - 5}{4}

\frac{- ( - 10 ) - 10 5}{2 \cdot 20}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{10 - 10 5}{2 \cdot 20}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{10 - 10 5}{40}

Factorizar

10 - 105 : 10 (1 - 5)

10 - 105

Reescribir como

= 10 \cdot 1 - 105

Factorizar el termino común

10

= 10 (1 - 5)

= \frac{10 ( 1 - 5 )}{40}

Eliminar los terminos comunes:

10

= \frac{1 - 5}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{1 - 5}{4}

Sustituir en la ecuación

u = cos (t)

cos (t) = \frac{1 + 5}{4}, cos (t) = \frac{1 - 5}{4}

cos (t) = \frac{1 + 5}{4}, cos (t) = \frac{1 - 5}{4}

cos (t) = \frac{1 + 5}{4} : t = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, t = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (t) = \frac{1 + 5}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (t) = \frac{1 + 5}{4}

Soluciones generales para

cos (t) = \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

t = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, t = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

t = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, t = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (t) = \frac{1 - 5}{4} : t = arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

cos (t) = \frac{1 - 5}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (t) = \frac{1 - 5}{4}

Soluciones generales para

cos (t) = \frac{1 - 5}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

t = arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

t = arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

t = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, t = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, t = arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

t = 0.62831 \dots + 2 πn, t = 2 π - 0.62831 \dots + 2 πn, t = 1.88495 \dots + 2 πn, t = - 1.88495 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

sin^2(x)-cos(x)+1=0

sin^{2} (x) - cos (x) + 1 = 0

tan(2x)=2sin(x)

tan (2 x) = 2 sin (x)

sin(θ)-cos(θ)=sqrt((2+\sqrt{3))/2}

sin (θ) - cos (θ) = \frac{2 + 3}{2}

solvefor w,s(t)=sin(at)cos(wt)resolver para

w, s (t) = sin (a t) cos (wt)

2sin(2x)*cos(3x)+cos(3x)=0

2 sin (2 x) \cdot cos (3 x) + cos (3 x) = 0