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((1+tanh(x))/(1-tanh(x)))^2=2

Solución

(\frac{1 + tanh ( x )}{1 - tanh ( x )})^{2} = 2

Solución

x = \frac{1}{4} ln (2)

Grados

x = 9.92860 \dots^{\circ}

Pasos de solución

(\frac{1 + tanh ( x )}{1 - tanh ( x )})^{2} = 2

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(\frac{1 + tanh ( x )}{1 - tanh ( x )})^{2} = 2

Utilizar la identidad hiperbólica:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

(\frac{1 + \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}}{1 - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}})^{2} = 2

(\frac{1 + \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}}{1 - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}})^{2} = 2

(\frac{1 + \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}}{1 - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}})^{2} = 2 : x = \frac{1}{4} ln (2)

(\frac{1 + \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}}{1 - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}})^{2} = 2

Aplicar las leyes de los exponentes

(\frac{1 + \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}}{1 - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}})^{2} = 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

\frac{1 + \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}}{1 - \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}}^{2} = 2

\frac{1 + \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}}{1 - \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}}^{2} = 2

Re escribir la ecuación con

e^{x} = u

\frac{1 + \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{u + ( u ) ^{- 1}}}{1 - \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{u + ( u ) ^{- 1}}}^{2} = 2

Resolver

(\frac{1 + \frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}}}{1 - \frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}}})^{2} = 2

Simplificar

\frac{4 u ^{4}}{( u ^{2} + 1 - ( u ^{2} - 1 ) ) ^{2}} = 2

Simplificar

\frac{4 u ^{4}}{( u ^{2} + 1 - ( u ^{2} - 1 ) ) ^{2}} : u^{4}

\frac{4 u ^{4}}{( u ^{2} + 1 - ( u ^{2} - 1 ) ) ^{2}}

Expandir

u^{2} + 1 - (u^{2} - 1) : 2

u^{2} + 1 - (u^{2} - 1)

- (u^{2} - 1) : - u^{2} + 1

- (u^{2} - 1)

Poner los parentesis

= - (u^{2}) - (- 1)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - u^{2} + 1

= u^{2} + 1 - u^{2} + 1

Simplificar

u^{2} + 1 - u^{2} + 1 : 2

u^{2} + 1 - u^{2} + 1

Agrupar términos semejantes

= u^{2} - u^{2} + 1 + 1

Sumar elementos similares:

u^{2} - u^{2} = 0

= 1 + 1

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2

= 2

= \frac{4 u ^{4}}{2 ^{2}}

Factorizar

4 : 2^{2}

Factorizar

4 = 2^{2}

= \frac{2 ^{2} u ^{4}}{2 ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

2^{2}

= u^{4}

u^{4} = 2

Resolver

u^{4} = 2

Para

x^{n} = f (a)

, n es par, las soluciones son

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(\frac{1 + \frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}}}{1 - \frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}}})^{2}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

Sustituir hacia atrás la

u = e^{x},

resolver para

x

Resolver

Aplicar las leyes de los exponentes

Aplicar las leyes de los exponentes:

e^{x} = 2^{\frac{1}{4}}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (2^{\frac{1}{4}})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (2^{\frac{1}{4}})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (2^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4} ln (2)

x = \frac{1}{4} ln (2)

x = \frac{1}{4} ln (2)

Resolver

Sin solución para

x \in R

a^{f (x)}

no puede ser cero o negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

x = \frac{1}{4} ln (2)

x = \frac{1}{4} ln (2)

Ejemplos populares

cos(2x)-cos(-x)=0

cos (2 x) - cos (- x) = 0

cos(3x)=sin(x)

cos (3 x) = sin (x)

4tan^2(θ)=12,0<= θ<2pi

4 tan^{2} (θ) = 12, 0 \leq θ < 2 π

cos^2(x)=1-2sin^2(x)

cos^{2} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

(1+tanh(x))/(1-tanh(x))=2

\frac{1 + tanh ( x )}{1 - tanh ( x )} = 2