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sec(4x)-sec(2x)=2

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Solução

sec(4x)−sec(2x)=2

Solução

x=2π​+πn,x=20.62831…​+πn,x=π−20.62831…​+πn,x=21.88495…​+πn,x=−21.88495…​+πn
+1
Graus
x=90∘+180∘n,x=18∘+180∘n,x=162∘+180∘n,x=54∘+180∘n,x=−54∘+180∘n
Passos da solução
sec(4x)−sec(2x)=2
Subtrair 2 de ambos os ladossec(4x)−sec(2x)−2=0
Reeecreva usando identidades trigonométricas
−2−sec(2x)+sec(4x)
Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria: sec(x)=cos(x)1​=−2−cos(2x)1​+cos(4x)1​
cos(4x)=2cos2(2x)−1
cos(4x)
Reescrever como=cos(2⋅2x)
Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo: cos(2x)=2cos2(x)−1cos(2⋅2x)=2cos2(2x)−1=2cos2(2x)−1
=−2−cos(2x)1​+2cos2(2x)−11​
−2+−1+2cos2(2x)1​−cos(2x)1​=0
Usando o método de substituição
−2+−1+2cos2(2x)1​−cos(2x)1​=0
Sea: cos(2x)=u−2+−1+2u21​−u1​=0
−2+−1+2u21​−u1​=0:u=−1,u=41+5​​,u=41−5​​
−2+−1+2u21​−u1​=0
Multiplicar pelo mínimo múltiplo comum
−2+−1+2u21​−u1​=0
Encontrar o mínimo múltiplo comum de −1+2u2,u:u(2​u+1)(2​u−1)
−1+2u2,u
Mínimo múltiplo comum (MMC)
Fatorar as expressões
Fatorar −1+2u2:(2​u+1)(2​u−1)
−1+2u2
Reescrever 2u2−1 como (2​u)2−12
2u2−1
Aplicar as propriedades dos radicais: a=(a​)22=(2​)2=(2​)2u2−1
Reescrever 1 como 12=(2​)2u2−12
Aplicar as propriedades dos expoentes: ambm=(ab)m(2​)2u2=(2​u)2=(2​u)2−12
=(2​u)2−12
Aplicar a regra da diferença de quadrados: x2−y2=(x+y)(x−y)(2​u)2−12=(2​u+1)(2​u−1)=(2​u+1)(2​u−1)
Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em (2​u+1)(2​u−1) quanto em u=u(2​u+1)(2​u−1)
Multiplicar pelo mínimo múltiplo comum=u(2​u+1)(2​u−1)−2u(2​u+1)(2​u−1)+−1+2u21​u(2​u+1)(2​u−1)−u1​u(2​u+1)(2​u−1)=0⋅u(2​u+1)(2​u−1)
Simplificar
−2u(2​u+1)(2​u−1)+−1+2u21​u(2​u+1)(2​u−1)−u1​u(2​u+1)(2​u−1)=0⋅u(2​u+1)(2​u−1)
Simplificar −1+2u21​u(2​u+1)(2​u−1):u
−1+2u21​u(2​u+1)(2​u−1)
Multiplicar frações: a⋅cb​=ca⋅b​=−1+2u21⋅u(2​u+1)(2​u−1)​
Multiplicar: 1⋅u=u=−1+2u2u(2​u+1)(2​u−1)​
Fatorar 2u2−1:(2​u+1)(2​u−1)
2u2−1
Reescrever 2u2−1 como (2​u)2−12
2u2−1
Aplicar as propriedades dos radicais: a=(a​)22=(2​)2=(2​)2u2−1
Reescrever 1 como 12=(2​)2u2−12
Aplicar as propriedades dos expoentes: ambm=(ab)m(2​)2u2=(2​u)2=(2​u)2−12
=(2​u)2−12
Aplicar a regra da diferença de quadrados: x2−y2=(x+y)(x−y)(2​u)2−12=(2​u+1)(2​u−1)=(2​u+1)(2​u−1)
=(2​u+1)(2​u−1)u(2​u+1)(2​u−1)​
Cancelar (2​u+1)(2​u−1)u(2​u+1)(2​u−1)​:u
(2​u+1)(2​u−1)u(2​u+1)(2​u−1)​
Eliminar o fator comum: 2​u+1=2​u−1u(2​u−1)​
Eliminar o fator comum: 2​u−1=u
=u
Simplificar −u1​u(2​u+1)(2​u−1):−(2​u+1)(2​u−1)
−u1​u(2​u+1)(2​u−1)
Multiplicar frações: a⋅cb​=ca⋅b​=−u1⋅u(2​u+1)(2​u−1)​
Eliminar o fator comum: u=−1⋅(2​u+1)(2​u−1)
Multiplicar: 1⋅(2​u+1)=(2​u+1)=−(2​u+1)(2​u−1)
Simplificar 0⋅u(2​u+1)(2​u−1):0
0⋅u(2​u+1)(2​u−1)
Aplicar a regra 0⋅a=0=0
−2u(2​u+1)(2​u−1)+u−(2​u+1)(2​u−1)=0
−2u(2​u+1)(2​u−1)+u−(2​u+1)(2​u−1)=0
−2u(2​u+1)(2​u−1)+u−(2​u+1)(2​u−1)=0
Resolver −2u(2​u+1)(2​u−1)+u−(2​u+1)(2​u−1)=0:u=−1,u=41+5​​,u=41−5​​
−2u(2​u+1)(2​u−1)+u−(2​u+1)(2​u−1)=0
Fatorar −2u(2​u+1)(2​u−1)+u−(2​u+1)(2​u−1):−(u+1)(4u2−2u−1)
−2u(2​u+1)(2​u−1)+u−(2​u+1)(2​u−1)
Expandir −2u(2​u+1)(2​u−1)+u−(2​u+1)(2​u−1):−4u3+3u−2u2+1
−2u(2​u+1)(2​u−1)+u−(2​u+1)(2​u−1)
Expandir −2u(2​u+1)(2​u−1):−4u3+2u
Expandir (2​u+1)(2​u−1):2u2−1
(2​u+1)(2​u−1)
Aplicar a regra da diferença de quadrados: (a+b)(a−b)=a2−b2a=2​u,b=1=(2​u)2−12
Simplificar (2​u)2−12:2u2−1
(2​u)2−12
Aplicar a regra 1a=112=1=(2​u)2−1
(2​u)2=2u2
(2​u)2
Aplicar as propriedades dos expoentes: (a⋅b)n=anbn=(2​)2u2
(2​)2:2
Aplicar as propriedades dos radicais: a​=a21​=(221​)2
Aplicar as propriedades dos expoentes: (ab)c=abc=221​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
Multiplicar frações: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Eliminar o fator comum: 2=1
=2
=2u2
=2u2−1
=2u2−1
=−2u(2u2−1)
Expandir −2u(2u2−1):−4u3+2u
−2u(2u2−1)
Colocar os parênteses utilizando: a(b−c)=ab−aca=−2u,b=2u2,c=1=−2u⋅2u2−(−2u)⋅1
Aplicar as regras dos sinais−(−a)=a=−2⋅2u2u+2⋅1⋅u
Simplificar −2⋅2u2u+2⋅1⋅u:−4u3+2u
−2⋅2u2u+2⋅1⋅u
2⋅2u2u=4u3
2⋅2u2u
Multiplicar os números: 2⋅2=4=4u2u
Aplicar as propriedades dos expoentes: ab⋅ac=ab+cu2u=u2+1=4u2+1
Somar: 2+1=3=4u3
2⋅1⋅u=2u
2⋅1⋅u
Multiplicar os números: 2⋅1=2=2u
=−4u3+2u
=−4u3+2u
=−4u3+2u
=−4u3+2u+u−(2​u+1)(2​u−1)
Expandir −(2​u+1)(2​u−1):−2u2+1
Expandir (2​u+1)(2​u−1):2u2−1
(2​u+1)(2​u−1)
Aplicar a regra da diferença de quadrados: (a+b)(a−b)=a2−b2a=2​u,b=1=(2​u)2−12
Simplificar (2​u)2−12:2u2−1
(2​u)2−12
Aplicar a regra 1a=112=1=(2​u)2−1
(2​u)2=2u2
(2​u)2
Aplicar as propriedades dos expoentes: (a⋅b)n=anbn=(2​)2u2
(2​)2:2
Aplicar as propriedades dos radicais: a​=a21​=(221​)2
Aplicar as propriedades dos expoentes: (ab)c=abc=221​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
Multiplicar frações: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Eliminar o fator comum: 2=1
=2
=2u2
=2u2−1
=2u2−1
=−(2u2−1)
Colocar os parênteses=−(2u2)−(−1)
Aplicar as regras dos sinais−(−a)=a,−(a)=−a=−2u2+1
=−4u3+2u+u−2u2+1
Somar elementos similares: 2u+u=3u=−4u3+3u−2u2+1
=−4u3+3u−2u2+1
Fatorar −4u3−2u2+3u+1:−(u+1)(4u2−2u−1)
−4u3−2u2+3u+1
Fatorar o termo comum −1=−(4u3+2u2−3u−1)
Fatorar 4u3+2u2−3u−1:(u+1)(4u2−2u−1)
4u3+2u2−3u−1
Utilizar o teorema das raízes racionais
a0​=1,an​=4
Os divisores de a0​:1,Os divisores de an​:1,2,4
Portanto, verificar os seguintes números racionais:±1,2,41​
−11​ é a raiz da expressão, portanto, fatorar u+1
=(u+1)u+14u3+2u2−3u−1​
u+14u3+2u2−3u−1​=4u2−2u−1
u+14u3+2u2−3u−1​
Dividir u+14u3+2u2−3u−1​:u+14u3+2u2−3u−1​=4u2+u+1−2u2−3u−1​
Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador 4u3+2u2−3u−1
e o divisor u+1:u4u3​=4u2
Quociente=4u2
Multiplicar u+1 por 4u2:4u3+4u2Subtrair 4u3+4u2 de 4u3+2u2−3u−1 para obter um novo restoResto=−2u2−3u−1
Portantou+14u3+2u2−3u−1​=4u2+u+1−2u2−3u−1​
=4u2+u+1−2u2−3u−1​
Dividir u+1−2u2−3u−1​:u+1−2u2−3u−1​=−2u+u+1−u−1​
Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador −2u2−3u−1
e o divisor u+1:u−2u2​=−2u
Quociente=−2u
Multiplicar u+1 por −2u:−2u2−2uSubtrair −2u2−2u de −2u2−3u−1 para obter um novo restoResto=−u−1
Portantou+1−2u2−3u−1​=−2u+u+1−u−1​
=4u2−2u+u+1−u−1​
Dividir u+1−u−1​:u+1−u−1​=−1
Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador −u−1
e o divisor u+1:u−u​=−1
Quociente=−1
Multiplicar u+1 por −1:−u−1Subtrair −u−1 de −u−1 para obter um novo restoResto=0
Portantou+1−u−1​=−1
=4u2−2u−1
=4u2−2u−1
=(u+1)(4u2−2u−1)
=−(u+1)(4u2−2u−1)
=−(u+1)(4u2−2u−1)
−(u+1)(4u2−2u−1)=0
Usando o princípio do fator zero: Se ab=0então a=0ou b=0u+1=0or4u2−2u−1=0
Resolver u+1=0:u=−1
u+1=0
Mova 1para o lado direito
u+1=0
Subtrair 1 de ambos os ladosu+1−1=0−1
Simplificaru=−1
u=−1
Resolver 4u2−2u−1=0:u=41+5​​,u=41−5​​
4u2−2u−1=0
Resolver com a fórmula quadrática
4u2−2u−1=0
Fórmula geral para equações de segundo grau:
Para a=4,b=−2,c=−1u1,2​=2⋅4−(−2)±(−2)2−4⋅4(−1)​​
u1,2​=2⋅4−(−2)±(−2)2−4⋅4(−1)​​
(−2)2−4⋅4(−1)​=25​
(−2)2−4⋅4(−1)​
Aplicar a regra −(−a)=a=(−2)2+4⋅4⋅1​
Aplicar as propriedades dos expoentes: (−a)n=an,se né par(−2)2=22=22+4⋅4⋅1​
Multiplicar os números: 4⋅4⋅1=16=22+16​
22=4=4+16​
Somar: 4+16=20=20​
Decomposição em fatores primos de 20:22⋅5
20
20dividida por 220=10⋅2=2⋅10
10dividida por 210=5⋅2=2⋅2⋅5
2,5 são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais=2⋅2⋅5
=22⋅5
=22⋅5​
Aplicar as propriedades dos radicais: nab​=na​nb​=5​22​
Aplicar as propriedades dos radicais: nan​=a22​=2=25​
u1,2​=2⋅4−(−2)±25​​
Separe as soluçõesu1​=2⋅4−(−2)+25​​,u2​=2⋅4−(−2)−25​​
u=2⋅4−(−2)+25​​:41+5​​
2⋅4−(−2)+25​​
Aplicar a regra −(−a)=a=2⋅42+25​​
Multiplicar os números: 2⋅4=8=82+25​​
Fatorar 2+25​:2(1+5​)
2+25​
Reescrever como=2⋅1+25​
Fatorar o termo comum 2=2(1+5​)
=82(1+5​)​
Eliminar o fator comum: 2=41+5​​
u=2⋅4−(−2)−25​​:41−5​​
2⋅4−(−2)−25​​
Aplicar a regra −(−a)=a=2⋅42−25​​
Multiplicar os números: 2⋅4=8=82−25​​
Fatorar 2−25​:2(1−5​)
2−25​
Reescrever como=2⋅1−25​
Fatorar o termo comum 2=2(1−5​)
=82(1−5​)​
Eliminar o fator comum: 2=41−5​​
As soluções para a equação de segundo grau são: u=41+5​​,u=41−5​​
As soluções sãou=−1,u=41+5​​,u=41−5​​
u=−1,u=41+5​​,u=41−5​​
Verifique soluções
Encontrar os pontos não definidos (singularidades):u=2​1​,u=−2​1​,u=0
Tomar o(s) denominador(es) de −2+−1+2u21​−u1​ e comparar com zero
Resolver −1+2u2=0:u=2​1​,u=−2​1​
−1+2u2=0
Mova 1para o lado direito
−1+2u2=0
Adicionar 1 a ambos os lados−1+2u2+1=0+1
Simplificar2u2=1
2u2=1
Dividir ambos os lados por 2
2u2=1
Dividir ambos os lados por 222u2​=21​
Simplificaru2=21​
u2=21​
Para x2=f(a) as soluções são x=f(a)​,−f(a)​
u=21​​,u=−21​​
21​​=2​1​
21​​
Aplicar as propriedades dos radicais: ba​​=b​a​​,a≥0,b≥0=2​1​​
Aplicar as propriedades dos radicais: 1​=11​=1=2​1​
−21​​=−2​1​
−21​​
Aplicar as propriedades dos radicais: ba​​=b​a​​,a≥0,b≥0=−2​1​​
Aplicar as propriedades dos radicais: 1​=11​=1=−2​1​
u=2​1​,u=−2​1​
u=0
Os seguintes pontos são indefinidosu=2​1​,u=−2​1​,u=0
Combinar os pontos indefinidos com as soluções:
u=−1,u=41+5​​,u=41−5​​
Substituir na equação u=cos(2x)cos(2x)=−1,cos(2x)=41+5​​,cos(2x)=41−5​​
cos(2x)=−1,cos(2x)=41+5​​,cos(2x)=41−5​​
cos(2x)=−1:x=2π​+πn
cos(2x)=−1
Soluções gerais para cos(2x)=−1
cos(x) tabela de periodicidade com ciclo de 2πn:
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
2x=π+2πn
2x=π+2πn
Resolver 2x=π+2πn:x=2π​+πn
2x=π+2πn
Dividir ambos os lados por 2
2x=π+2πn
Dividir ambos os lados por 222x​=2π​+22πn​
Simplificarx=2π​+πn
x=2π​+πn
x=2π​+πn
cos(2x)=41+5​​:x=2arccos(41+5​​)​+πn,x=π−2arccos(41+5​​)​+πn
cos(2x)=41+5​​
Aplique as propriedades trigonométricas inversas
cos(2x)=41+5​​
Soluções gerais para cos(2x)=41+5​​cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πn2x=arccos(41+5​​)+2πn,2x=2π−arccos(41+5​​)+2πn
2x=arccos(41+5​​)+2πn,2x=2π−arccos(41+5​​)+2πn
Resolver 2x=arccos(41+5​​)+2πn:x=2arccos(41+5​​)​+πn
2x=arccos(41+5​​)+2πn
Dividir ambos os lados por 2
2x=arccos(41+5​​)+2πn
Dividir ambos os lados por 222x​=2arccos(41+5​​)​+22πn​
Simplificarx=2arccos(41+5​​)​+πn
x=2arccos(41+5​​)​+πn
Resolver 2x=2π−arccos(41+5​​)+2πn:x=π−2arccos(41+5​​)​+πn
2x=2π−arccos(41+5​​)+2πn
Dividir ambos os lados por 2
2x=2π−arccos(41+5​​)+2πn
Dividir ambos os lados por 222x​=22π​−2arccos(41+5​​)​+22πn​
Simplificarx=π−2arccos(41+5​​)​+πn
x=π−2arccos(41+5​​)​+πn
x=2arccos(41+5​​)​+πn,x=π−2arccos(41+5​​)​+πn
cos(2x)=41−5​​:x=2arccos(41−5​​)​+πn,x=−2arccos(41−5​​)​+πn
cos(2x)=41−5​​
Aplique as propriedades trigonométricas inversas
cos(2x)=41−5​​
Soluções gerais para cos(2x)=41−5​​cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πn2x=arccos(41−5​​)+2πn,2x=−arccos(41−5​​)+2πn
2x=arccos(41−5​​)+2πn,2x=−arccos(41−5​​)+2πn
Resolver 2x=arccos(41−5​​)+2πn:x=2arccos(41−5​​)​+πn
2x=arccos(41−5​​)+2πn
Dividir ambos os lados por 2
2x=arccos(41−5​​)+2πn
Dividir ambos os lados por 222x​=2arccos(41−5​​)​+22πn​
Simplificarx=2arccos(41−5​​)​+πn
x=2arccos(41−5​​)​+πn
Resolver 2x=−arccos(41−5​​)+2πn:x=−2arccos(41−5​​)​+πn
2x=−arccos(41−5​​)+2πn
Dividir ambos os lados por 2
2x=−arccos(41−5​​)+2πn
Dividir ambos os lados por 222x​=−2arccos(41−5​​)​+22πn​
Simplificarx=−2arccos(41−5​​)​+πn
x=−2arccos(41−5​​)​+πn
x=2arccos(41−5​​)​+πn,x=−2arccos(41−5​​)​+πn
Combinar toda as soluçõesx=2π​+πn,x=2arccos(41+5​​)​+πn,x=π−2arccos(41+5​​)​+πn,x=2arccos(41−5​​)​+πn,x=−2arccos(41−5​​)​+πn
Mostrar soluções na forma decimalx=2π​+πn,x=20.62831…​+πn,x=π−20.62831…​+πn,x=21.88495…​+πn,x=−21.88495…​+πn

Gráfico

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Exemplos populares

-cos(x)=1−cos(x)=1cot(x)sin(x)-sin(x)=0cot(x)sin(x)−sin(x)=01.16cos(θ)+0.532cos(θ)-0.557=01.16cos(θ)+0.532cos(θ)−0.557=0arcsin(6x)+arcsin(6sqrt(3)x)=-pi/2arcsin(6x)+arcsin(63​x)=−2π​cos(x)= 1/2 ,0<= x<= 360cos(x)=21​,0∘≤x≤360∘
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