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Populaire Trigonométrie >

cos(x)-sqrt(1-3cos^2(x))=0

Solution

cos (x) - 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

Solution

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Degrés

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

cos (x) - 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

cos (x) - 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

u - 1 - 3 u^{2} = 0

u - 1 - 3 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

u - 1 - 3 u^{2} = 0

Supprimer les racines carrées

u - 1 - 3 u^{2} = 0

Soustraire

u

des deux côtés

u - 1 - 3 u^{2} - u = 0 - u

Simplifier

- 1 - 3 u^{2} = - u

Mettre les deux côtés au carré:

1 - 3 u^{2} = u^{2}

u - 1 - 3 u^{2} = 0

(- 1 - 3 u^{2})^{2} = (- u)^{2}

Développer

(- 1 - 3 u^{2})^{2} : 1 - 3 u^{2}

(- 1 - 3 u^{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1 - 3 u^{2})^{2} = (1 - 3 u^{2})^{2}

= (1 - 3 u^{2})^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - 3 u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - 3 u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 1 - 3 u^{2}

Développer

(- u)^{2} : u^{2}

(- u)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- u)^{2} = u^{2}

= u^{2}

1 - 3 u^{2} = u^{2}

1 - 3 u^{2} = u^{2}

1 - 3 u^{2} = u^{2}

Résoudre

1 - 3 u^{2} = u^{2} : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - 3 u^{2} = u^{2}

Déplacer

1

vers la droite

1 - 3 u^{2} = u^{2}

Soustraire

1

des deux côtés

1 - 3 u^{2} - 1 = u^{2} - 1

Simplifier

- 3 u^{2} = u^{2} - 1

- 3 u^{2} = u^{2} - 1

Déplacer

u^{2}

vers la gauche

- 3 u^{2} = u^{2} - 1

Soustraire

u^{2}

des deux côtés

- 3 u^{2} - u^{2} = u^{2} - 1 - u^{2}

Simplifier

- 4 u^{2} = - 1

- 4 u^{2} = - 1

Diviser les deux côtés par

- 4

- 4 u^{2} = - 1

Diviser les deux côtés par

- 4

\frac{- 4 u ^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}

Simplifier

u^{2} = \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Appliquer la règle des radicaux :

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Appliquer la règle

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Simplifier

\frac{1}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Appliquer la règle des radicaux :

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

Appliquer la règle

1 = 1

= - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Vérifier les solutions:

u = \frac{1}{2}

vrai

, u = - \frac{1}{2}

Faux

Vérifier des solutions en les intégrant dans

u - 1 - 3 u^{2} = 0

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Insérer

u = \frac{1}{2} :

vrai

(\frac{1}{2}) - 1 - 3 (\frac{1}{2})^{2} = 0

(\frac{1}{2}) - 1 - 3 (\frac{1}{2})^{2} = 0

(\frac{1}{2}) - 1 - 3 (\frac{1}{2})^{2}

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= \frac{1}{2} - 1 - 3 (\frac{1}{2})^{2}

1 - 3 (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

1 - 3 (\frac{1}{2})^{2}

3 (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4}

3 (\frac{1}{2})^{2}

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2 ^{2}}

(\frac{1}{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

= 3 \cdot \frac{1}{2 ^{2}}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{2 ^{2}}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{3}{4}

= 1 - \frac{3}{4}

Relier

1 - \frac{3}{4} : \frac{1}{4}

1 - \frac{3}{4}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 3}{4}

1 \cdot 4 - 3 = 1

1 \cdot 4 - 3

Multiplier les nombres :

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 3

Soustraire les nombres :

4 - 3 = 1

= 1

= \frac{1}{4}

= \frac{1}{4}

Appliquer la règle des radicaux :

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Appliquer la règle

1 = 1

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0

= 0

0 = 0

vrai

Insérer

u = - \frac{1}{2} :

Faux

(- \frac{1}{2}) - 1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2} = 0

(- \frac{1}{2}) - 1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2} = - 1

(- \frac{1}{2}) - 1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= - \frac{1}{2} - 1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2}

1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

1 - 3 (- \frac{1}{2})^{2}

3 (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4}

3 (- \frac{1}{2})^{2}

(- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2 ^{2}}

(- \frac{1}{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- \frac{1}{2})^{2} = (\frac{1}{2})^{2}

= (\frac{1}{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

= 3 \cdot \frac{1}{2 ^{2}}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{2 ^{2}}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{3}{4}

= 1 - \frac{3}{4}

Relier

1 - \frac{3}{4} : \frac{1}{4}

1 - \frac{3}{4}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 3}{4}

1 \cdot 4 - 3 = 1

1 \cdot 4 - 3

Multiplier les nombres :

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 3

Soustraire les nombres :

4 - 3 = 1

= 1

= \frac{1}{4}

= \frac{1}{4}

Appliquer la règle des radicaux :

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Appliquer la règle

1 = 1

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 - 1}{2}

Soustraire les nombres :

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= - 1

- 1 = 0

Faux

La solution est

u = \frac{1}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

arctan(2x-3)= pi/4

arctan (2 x - 3) = \frac{π}{4}

cos(x)=-0,5

cos (x) = - 0, 5

tan(2x)+2cos(x)=0,0<= x<= 2pi

tan (2 x) + 2 cos (x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π

sin(x)+cos(x)*cot(x)=2

sin (x) + cos (x) \cdot cot (x) = 2

tan(θ)= 6/12

tan (θ) = \frac{6}{12}