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Popular Trigonometría >

6sec^2(x)-3cos(x)-10=sec(x)

Solución

6 sec^{2} (x) - 3 cos (x) - 10 = sec (x)

Solución

x = π + 2 πn, x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Grados

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

6 sec^{2} (x) - 3 cos (x) - 10 = sec (x)

Restar

sec (x)

de ambos lados

6 sec^{2} (x) - 3 cos (x) - 10 - sec (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 10 - sec (x) - 3 cos (x) + 6 sec^{2} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 10 - sec (x) - 3 \cdot \frac{1}{sec ( x )} + 6 sec^{2} (x)

3 \cdot \frac{1}{sec ( x )} = \frac{3}{sec ( x )}

3 \cdot \frac{1}{sec ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sec ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sec ( x )}

= - 10 - sec (x) - \frac{3}{sec ( x )} + 6 sec^{2} (x)

- 10 - \frac{3}{sec ( x )} - sec (x) + 6 sec^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 10 - \frac{3}{sec ( x )} - sec (x) + 6 sec^{2} (x) = 0

Sea:

sec (x) = u

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0 : u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 10 u - \frac{3}{u} u - uu + 6 u^{2} u = 0 \cdot u

Simplificar

- 10 u - \frac{3}{u} u - uu + 6 u^{2} u = 0 \cdot u

Simplificar

- \frac{3}{u} u : - 3

- \frac{3}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{3 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= - 3

Simplificar

- uu : - u^{2}

- uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Simplificar

6 u^{2} u : 6 u^{3}

6 u^{2} u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 6 u^{2 + 1}

Sumar:

2 + 1 = 3

= 6 u^{3}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

Resolver

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0 : u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3 = 0

Factorizar

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3 : (u + 1) (3 u + 1) (2 u - 3)

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 3, a_{n} = 6

Los divisores de

a_{0} : 1, 3,

Los divisores de

a_{n} : 1, 2, 3, 6

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1 , 3}{1 , 2 , 3 , 6}

- \frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u + 1

= (u + 1) \frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = 6 u^{2} - 7 u - 3

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

Dividir

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} : \frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = 6 u^{2} + \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3

y el divisor

u + 1 : \frac{6 u ^{3}}{u} = 6 u^{2}

Cociente = 6 u^{2}

Multiplicar

u + 1

por

6 u^{2} : 6 u^{3} + 6 u^{2}

Substraer

6 u^{3} + 6 u^{2}

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 7 u^{2} - 10 u - 3

Por lo tanto

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = 6 u^{2} + \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

= 6 u^{2} + \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

Dividir

\frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} : \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = - 7 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 7 u^{2} - 10 u - 3

y el divisor

u + 1 : \frac{- 7 u ^{2}}{u} = - 7 u

Cociente = - 7 u

Multiplicar

u + 1

por

- 7 u : - 7 u^{2} - 7 u

Substraer

- 7 u^{2} - 7 u

- 7 u^{2} - 10 u - 3

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 3 u - 3

Por lo tanto

\frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = - 7 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

= 6 u^{2} - 7 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

Dividir

\frac{- 3 u - 3}{u + 1} : \frac{- 3 u - 3}{u + 1} = - 3

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 3 u - 3

y el divisor

u + 1 : \frac{- 3 u}{u} = - 3

Cociente = - 3

Multiplicar

u + 1

por

- 3 : - 3 u - 3

Substraer

- 3 u - 3

- 3 u - 3

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{- 3 u - 3}{u + 1} = - 3

= 6 u^{2} - 7 u - 3

= 6 u^{2} - 7 u - 3

Factorizar

6 u^{2} - 7 u - 3 : (3 u + 1) (2 u - 3)

6 u^{2} - 7 u - 3

Factorizar la expresión

6 u^{2} - 7 u - 3

Definición

Factores de

18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18

18

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

18 : 2, 3, 3

18

18

divida por

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 9

9

divida por

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Multiplicar los factores primos de

18 : 6, 9

2 \cdot 3 = 6

3 \cdot 3 = 9

6, 9

6, 9

Agregar factores primos:

2, 3

Agregar 1 y su propio número

18

1, 18

Divisores de

18

1, 2, 3, 6, 9, 18

Factores negativos de

18 : - 1, - 2, - 3, - 6, - 9, - 18

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 6, - 9, - 18

Por cada dos factores tales que

u * v = - 18,

revisar si

u + v = - 7

Revisar

u = 1, v = - 18 : u * v = - 18, u + v = - 17 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = - 9 : u * v = - 18, u + v = - 7 \Rightarrow

Verdadero

u = 2, v = - 9

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} + 2 u) + (- 9 u - 3)

= (6 u^{2} + 2 u) + (- 9 u - 3)

Factorizar

2 u

6 u^{2} + 2 u

2 u (3 u + 1)

6 u^{2} + 2 u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 6 uu + 2 u

Reescribir

6

como

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 uu + 2 u

Factorizar el termino común

2 u

= 2 u (3 u + 1)

Factorizar

- 3

- 9 u - 3

- 3 (3 u + 1)

- 9 u - 3

Reescribir

9

como

3 \cdot 3

= - 3 \cdot 3 u - 3

Factorizar el termino común

- 3

= - 3 (3 u + 1)

= 2 u (3 u + 1) - 3 (3 u + 1)

Factorizar el termino común

3 u + 1

= (3 u + 1) (2 u - 3)

= (u + 1) (3 u + 1) (2 u - 3)

(u + 1) (3 u + 1) (2 u - 3) = 0

Usando la propiedad del factor cero:

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or 3 u + 1 = 0 or 2 u - 3 = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{3}

3 u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

3 u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

3 u = - 1

3 u = - 1

Dividir ambos lados entre

3

3 u = - 1

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Simplificar

u = - \frac{1}{3}

u = - \frac{1}{3}

Resolver

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Desplace

3

a la derecha

2 u - 3 = 0

Sumar

3

a ambos lados

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

2 u = 3

2 u = 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplificar

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Las soluciones son

u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sec (x)

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{1}{3}, sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{1}{3}, sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Soluciones generales para

sec (x) = - 1

sec (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = - \frac{1}{3} :

Sin solución

sec (x) = - \frac{1}{3}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sec (x) = \frac{3}{2} : x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

sec (x) = \frac{3}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sec (x) = \frac{3}{2}

Soluciones generales para

sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = π + 2 πn, x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = π + 2 πn, x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan(x)-sec(x)=sqrt(3)

tan (x) - sec (x) = 3

sin^2(x)+cos(2x)=1

sin^{2} (x) + cos (2 x) = 1

4tan(3x)=-4

4 tan (3 x) = - 4

cos(pi/3-x)=1

cos (\frac{π}{3} - x) = 1

2(cos(t))^2-cos(t)-1=0

2 (cos (t))^{2} - cos (t) - 1 = 0