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Popolare Trigonometria >

6sec^2(x)-3cos(x)-10=sec(x)

Soluzione

6 sec^{2} (x) - 3 cos (x) - 10 = sec (x)

Soluzione

x = π + 2 πn, x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Gradi

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

6 sec^{2} (x) - 3 cos (x) - 10 = sec (x)

Sottrarre

sec (x)

da entrambi i lati

6 sec^{2} (x) - 3 cos (x) - 10 - sec (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 10 - sec (x) - 3 cos (x) + 6 sec^{2} (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 10 - sec (x) - 3 \cdot \frac{1}{sec ( x )} + 6 sec^{2} (x)

3 \cdot \frac{1}{sec ( x )} = \frac{3}{sec ( x )}

3 \cdot \frac{1}{sec ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sec ( x )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sec ( x )}

= - 10 - sec (x) - \frac{3}{sec ( x )} + 6 sec^{2} (x)

- 10 - \frac{3}{sec ( x )} - sec (x) + 6 sec^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 10 - \frac{3}{sec ( x )} - sec (x) + 6 sec^{2} (x) = 0

Sia:

sec (x) = u

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0 : u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u

- 10 u - \frac{3}{u} u - uu + 6 u^{2} u = 0 \cdot u

Semplificare

- 10 u - \frac{3}{u} u - uu + 6 u^{2} u = 0 \cdot u

Semplificare

- \frac{3}{u} u : - 3

- \frac{3}{u} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{3 u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= - 3

Semplificare

- uu : - u^{2}

- uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Semplificare

6 u^{2} u : 6 u^{3}

6 u^{2} u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 6 u^{2 + 1}

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= 6 u^{3}

Semplificare

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

Risolvi

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0 : u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

- 10 u - 3 - u^{2} + 6 u^{3} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3 = 0

Fattorizza

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3 : (u + 1) (3 u + 1) (2 u - 3)

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3

Usa il teorema della radice razionale

a_{0} = 3, a_{n} = 6

I divisori of

a_{0} : 1, 3,

I divisori di

a_{n} : 1, 2, 3, 6

Quindi, controlla i seguenti numeri razionali:

\pm \frac{1 , 3}{1 , 2 , 3 , 6}

- \frac{1}{1}

è una radice della seguente espressione, quindi il fattore è

u + 1

= (u + 1) \frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = 6 u^{2} - 7 u - 3

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

Dividere

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} : \frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = 6 u^{2} + \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3

and the divisor

u + 1 : \frac{6 u ^{3}}{u} = 6 u^{2}

Quoziente = 6 u^{2}

Moltiplica

u + 1

per

6 u^{2} : 6 u^{3} + 6 u^{2}

Sottrarre

6 u^{3} + 6 u^{2}

6 u^{3} - u^{2} - 10 u - 3

per ottenere un nuovo resto

Resto = - 7 u^{2} - 10 u - 3

Quindi

\frac{6 u ^{3} - u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = 6 u^{2} + \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

= 6 u^{2} + \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1}

Dividere

\frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} : \frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = - 7 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- 7 u^{2} - 10 u - 3

and the divisor

u + 1 : \frac{- 7 u ^{2}}{u} = - 7 u

Quoziente = - 7 u

Moltiplica

u + 1

per

- 7 u : - 7 u^{2} - 7 u

Sottrarre

- 7 u^{2} - 7 u

- 7 u^{2} - 10 u - 3

per ottenere un nuovo resto

Resto = - 3 u - 3

Quindi

\frac{- 7 u ^{2} - 10 u - 3}{u + 1} = - 7 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

= 6 u^{2} - 7 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

Dividere

\frac{- 3 u - 3}{u + 1} : \frac{- 3 u - 3}{u + 1} = - 3

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- 3 u - 3

and the divisor

u + 1 : \frac{- 3 u}{u} = - 3

Quoziente = - 3

Moltiplica

u + 1

per

- 3 : - 3 u - 3

Sottrarre

- 3 u - 3

- 3 u - 3

per ottenere un nuovo resto

Resto = 0

Quindi

\frac{- 3 u - 3}{u + 1} = - 3

= 6 u^{2} - 7 u - 3

= 6 u^{2} - 7 u - 3

Fattorizza

6 u^{2} - 7 u - 3 : (3 u + 1) (2 u - 3)

6 u^{2} - 7 u - 3

Suddividere l'espressione in gruppi

6 u^{2} - 7 u - 3

Definizione

Fattori di

18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18

18

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

18 : 2, 3, 3

18

18

diviso per

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 9

9

diviso per

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Moltiplica i fattori primi di

18 : 6, 9

2 \cdot 3 = 6

3 \cdot 3 = 9

6, 9

6, 9

Aggiungi i fattori primi:

2, 3

Aggiungi 1 al numero

18

stesso

1, 18

I fattori di

18

1, 2, 3, 6, 9, 18

Fattori negativi di

18 : - 1, - 2, - 3, - 6, - 9, - 18

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2, - 3, - 6, - 9, - 18

Per ogni due fattori tali che

u * v = - 18,

controllare se

u + v = - 7

Verifica

u = 1, v = - 18 : u * v = - 18, u + v = - 17 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = - 9 : u * v = - 18, u + v = - 7 \Rightarrow

Vero

u = 2, v = - 9

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} + 2 u) + (- 9 u - 3)

= (6 u^{2} + 2 u) + (- 9 u - 3)

Fattorizza

2 u

6 u^{2} + 2 u : 2 u (3 u + 1)

6 u^{2} + 2 u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 6 uu + 2 u

Riscrivi

6

come

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 uu + 2 u

Fattorizzare dal termine comune

2 u

= 2 u (3 u + 1)

Fattorizza

- 3

- 9 u - 3 : - 3 (3 u + 1)

- 9 u - 3

Riscrivi

9

come

3 \cdot 3

= - 3 \cdot 3 u - 3

Fattorizzare dal termine comune

- 3

= - 3 (3 u + 1)

= 2 u (3 u + 1) - 3 (3 u + 1)

Fattorizzare dal termine comune

3 u + 1

= (3 u + 1) (2 u - 3)

= (u + 1) (3 u + 1) (2 u - 3)

(u + 1) (3 u + 1) (2 u - 3) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or 3 u + 1 = 0 or 2 u - 3 = 0

Risolvi

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

Risolvi

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{3}

3 u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

3 u = - 1

3 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

u = - \frac{1}{3}

u = - \frac{1}{3}

Risolvi

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 u - 3 = 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Semplificare

2 u = 3

2 u = 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Semplificare

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Le soluzioni sono

u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

- 10 - \frac{3}{u} - u + 6 u^{2}

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = - 1, u = - \frac{1}{3}, u = \frac{3}{2}

Sostituire indietro

u = sec (x)

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{1}{3}, sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{1}{3}, sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Soluzioni generali per

sec (x) = - 1

sec (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = - \frac{1}{3} :

Nessuna soluzione

sec (x) = - \frac{1}{3}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Nessuna soluzione

sec (x) = \frac{3}{2} : x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

sec (x) = \frac{3}{2}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sec (x) = \frac{3}{2}

Soluzioni generali per

sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = π + 2 πn, x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = π + 2 πn, x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

tan(x)-sec(x)=sqrt(3)

tan (x) - sec (x) = 3

sin^2(x)+cos(2x)=1

sin^{2} (x) + cos (2 x) = 1

4tan(3x)=-4

4 tan (3 x) = - 4

cos(pi/3-x)=1

cos (\frac{π}{3} - x) = 1

2(cos(t))^2-cos(t)-1=0

2 (cos (t))^{2} - cos (t) - 1 = 0