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cos(2x)=sqrt(1-sin^2(2x)),0<= x<= 2pi

Solución

cos (2 x) = 1 - sin^{2} (2 x), 0 \leq x \leq 2 π

Solución

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Pasos de solución

cos (2 x) = 1 - sin^{2} (2 x), 0 \leq x \leq 2 π

Restar

1 - sin^{2} (2 x)

de ambos lados

cos (2 x) - 1 - sin^{2} (2 x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (2 x) - 1 - sin^{2} (2 x)

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos (2 x) - cos^{2} (2 x)

cos (2 x) - cos^{2} (2 x) = 0

Usando el método de sustitución

cos (2 x) - cos^{2} (2 x) = 0

Sea:

cos (2 x) = u

u - u^{2} = 0

u - u^{2} = 0 : u \geq 0

u - u^{2} = 0

Eliminar raíces cuadradas

u - u^{2} = 0

Restar

u

de ambos lados

u - u^{2} - u = 0 - u

Simplificar

- u^{2} = - u

Elevar al cuadrado ambos lados:

u^{2} = u^{2}

u - u^{2} = 0

(- u^{2})^{2} = (- u)^{2}

Desarrollar

(- u^{2})^{2} : u^{2}

(- u^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

si

n

es par

(- u^{2})^{2} = (u^{2})^{2}

= (u^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= u^{2}

Desarrollar

(- u)^{2} : u^{2}

(- u)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

si

n

es par

(- u)^{2} = u^{2}

= u^{2}

u^{2} = u^{2}

u^{2} = u^{2}

u^{2} = u^{2}

Los lados son iguales

Verdadero para todo u

Verificar las soluciones:

u < 0

Falso

, u = 0

Verdadero

, u > 0

Verdadero

u - u^{2} = 0

Combinar intervalo de dominio con el de solución:

Verdadero para todo u

Encontrar los intervalos de la función:

u < 0, u = 0, u > 0

u - u^{2} = 0

Encontrar las raíces pares con argumento cero:

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

Los intervalos estan definidos alrededor de los ceros:

u < 0, u = 0, u > 0

Combinar intervalos con el dominio

u < 0, u = 0, u > 0

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

u - u^{2} = 0

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

u < 0 : u - u^{2} \neq = 0 \Rightarrow

Falso

La solución es

u \geq 0

Sustituir en la ecuación

u = cos (2 x)

cos (2 x) \geq 0

cos (2 x) \geq 0

cos (2 x) = u \geq 0, 0 \leq x \leq 2 π :

Sin solución

cos (2 x) = u \geq 0, 0 \leq x \leq 2 π

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (2 x) = u \geq 0

Soluciones generales para

cos (2 x) = u \geq 0

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

2 x = arccos (u \geq 0) + 2 πn, 2 x = - arccos (u \geq 0) + 2 πn

2 x = arccos (u \geq 0) + 2 πn, 2 x = - arccos (u \geq 0) + 2 πn

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Soluciones para el rango

0 \leq x \leq 2 π

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Ejemplos populares

sqrt(2)=sec(x)tan(x)

2 = sec (x) tan (x)

cos (x) = \frac{9}{13}

cos^2(x)=((6k-9))/(10)

cos^{2} (x) = \frac{( 6 k - 9 )}{10}

cot(x)+csc(x)=-1

cot (x) + csc (x) = - 1

cos^2(x)=((3k-3))/8

cos^{2} (x) = \frac{( 3 k - 3 )}{8}