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4sin^2(x)=(csc^2(x))/4

Solución

4 sin^{2} (x) = \frac{csc ^{2} ( x )}{4}

Solución

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 sin^{2} (x) = \frac{csc ^{2} ( x )}{4}

Restar

\frac{csc ^{2} ( x )}{4}

de ambos lados

4 sin^{2} (x) - \frac{csc ^{2} ( x )}{4} = 0

Simplificar

4 sin^{2} (x) - \frac{csc ^{2} ( x )}{4} : \frac{16 sin ^{2} ( x ) - csc ^{2} ( x )}{4}

4 sin^{2} (x) - \frac{csc ^{2} ( x )}{4}

Convertir a fracción:

4 sin^{2} (x) = \frac{4 sin ^{2} ( x ) 4}{4}

= \frac{4 sin ^{2} ( x ) \cdot 4}{4} - \frac{csc ^{2} ( x )}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 sin ^{2} ( x ) \cdot 4 - csc ^{2} ( x )}{4}

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 = 16

= \frac{16 sin ^{2} ( x ) - csc ^{2} ( x )}{4}

\frac{16 sin ^{2} ( x ) - csc ^{2} ( x )}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x) = 0

Factorizar

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x) : (4 sin (x) + csc (x)) (4 sin (x) - csc (x))

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x)

Reescribir

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x)

como

(4 sin (x))^{2} - csc^{2} (x)

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x)

Reescribir

16

como

4^{2}

= 4^{2} sin^{2} (x) - csc^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

4^{2} sin^{2} (x) = (4 sin (x))^{2}

= (4 sin (x))^{2} - csc^{2} (x)

= (4 sin (x))^{2} - csc^{2} (x)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(4 sin (x))^{2} - csc^{2} (x) = (4 sin (x) + csc (x)) (4 sin (x) - csc (x))

= (4 sin (x) + csc (x)) (4 sin (x) - csc (x))

(4 sin (x) + csc (x)) (4 sin (x) - csc (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

4 sin (x) + csc (x) = 0 or 4 sin (x) - csc (x) = 0

4 sin (x) + csc (x) = 0 :

Sin solución

4 sin (x) + csc (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

csc (x) + 4 sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= csc (x) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )} = \frac{4}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( x )}

= csc (x) + \frac{4}{csc ( x )}

csc (x) + \frac{4}{csc ( x )} = 0

Usando el método de sustitución

csc (x) + \frac{4}{csc ( x )} = 0

Sea:

csc (x) = u

u + \frac{4}{u} = 0

u + \frac{4}{u} = 0 : u = 2 i, u = - 2 i

u + \frac{4}{u} = 0

Multiplicar ambos lados por

u

u + \frac{4}{u} = 0

Multiplicar ambos lados por

u

uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

uu : u^{2}

uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Simplificar

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 4

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

u^{2} + 4 = 0

u^{2} + 4 = 0

u^{2} + 4 = 0

Resolver

u^{2} + 4 = 0 : u = 2 i, u = - 2 i

u^{2} + 4 = 0

Mover

4

al lado derecho

u^{2} + 4 = 0

Restar

4

de ambos lados

u^{2} + 4 - 4 = 0 - 4

Simplificar

u^{2} = - 4

u^{2} = - 4

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = - 4, u = - - 4

Simplificar

- 4 : 2 i

- 4

Aplicar las leyes de los exponentes:

- a = - 1 a

- 4 = - 1 4

= - 1 4

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= 4 i

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

Simplificar

- - 4 : - 2 i

- - 4

Simplificar

- 4 : 2 i

- 4

Aplicar las leyes de los exponentes:

- a = - 1 a

- 4 = - 1 4

= - 1 4

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= 4 i

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

= - 2 i

u = 2 i, u = - 2 i

u = 2 i, u = - 2 i

Sustituir en la ecuación

u = csc (x)

csc (x) = 2 i, csc (x) = - 2 i

csc (x) = 2 i, csc (x) = - 2 i

csc (x) = 2 i :

Sin solución

csc (x) = 2 i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

csc (x) = - 2 i :

Sin solución

csc (x) = - 2 i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

4 sin (x) - csc (x) = 0 : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

4 sin (x) - csc (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- csc (x) + 4 sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= - csc (x) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )} = \frac{4}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( x )}

= - csc (x) + \frac{4}{csc ( x )}

- csc (x) + \frac{4}{csc ( x )} = 0

Usando el método de sustitución

- csc (x) + \frac{4}{csc ( x )} = 0

Sea:

csc (x) = u

- u + \frac{4}{u} = 0

- u + \frac{4}{u} = 0 : u = 2, u = - 2

- u + \frac{4}{u} = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- u + \frac{4}{u} = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

- uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

- uu : - u^{2}

- uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Simplificar

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 4

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

- u^{2} + 4 = 0

- u^{2} + 4 = 0

- u^{2} + 4 = 0

Resolver

- u^{2} + 4 = 0 : u = 2, u = - 2

- u^{2} + 4 = 0

Mover

4

al lado derecho

- u^{2} + 4 = 0

Restar

4

de ambos lados

- u^{2} + 4 - 4 = 0 - 4

Simplificar

- u^{2} = - 4

- u^{2} = - 4

Dividir ambos lados entre

- 1

- u^{2} = - 4

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}

Simplificar

u^{2} = 4

u^{2} = 4

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 4, u = - 4

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

- 4 = - 2

- 4

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= - 2

u = 2, u = - 2

u = 2, u = - 2

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

- u + \frac{4}{u}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 2, u = - 2

Sustituir en la ecuación

u = csc (x)

csc (x) = 2, csc (x) = - 2

csc (x) = 2, csc (x) = - 2

csc (x) = 2 : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = 2

Soluciones generales para

csc (x) = 2

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - 2 : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - 2

Soluciones generales para

csc (x) = - 2

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

2sin(3x)=2

2 sin (3 x) = 2

sin(x)=(sqrt(2))/3

sin (x) = \frac{2}{3}

2(-cos^2(x)-sin(x)+sin^2(x))=0

2 (- cos^{2} (x) - sin (x) + sin^{2} (x)) = 0

cos(x)-sin(x)= 2/3

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

0=sqrt(((10cos(x))-8)^2((10sin(x))-6)^2)

0 = ((10 cos (x)) - 8)^{2} ((10 sin (x)) - 6)^{2}