解答
−15sin(x)−8cos(x)=10
解答
x=−3.00267…+2πn,x=2π−1.11883…+2πn
+1
度数
x=−172.04060…∘+360∘n,x=295.89563…∘+360∘n求解步骤
−15sin(x)−8cos(x)=10
两边加上 8cos(x)−15sin(x)=10+8cos(x)
两边进行平方(−15sin(x))2=(10+8cos(x))2
两边减去 (10+8cos(x))2225sin2(x)−100−160cos(x)−64cos2(x)=0
使用三角恒等式改写
−100−160cos(x)+225sin2(x)−64cos2(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=−100−160cos(x)+225(1−cos2(x))−64cos2(x)
化简 −100−160cos(x)+225(1−cos2(x))−64cos2(x):−289cos2(x)−160cos(x)+125
−100−160cos(x)+225(1−cos2(x))−64cos2(x)
乘开 225(1−cos2(x)):225−225cos2(x)
225(1−cos2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=225,b=1,c=cos2(x)=225⋅1−225cos2(x)
数字相乘:225⋅1=225=225−225cos2(x)
=−100−160cos(x)+225−225cos2(x)−64cos2(x)
化简 −100−160cos(x)+225−225cos2(x)−64cos2(x):−289cos2(x)−160cos(x)+125
−100−160cos(x)+225−225cos2(x)−64cos2(x)
同类项相加:−225cos2(x)−64cos2(x)=−289cos2(x)=−100−160cos(x)+225−289cos2(x)
对同类项分组=−160cos(x)−289cos2(x)−100+225
数字相加/相减:−100+225=125=−289cos2(x)−160cos(x)+125
=−289cos2(x)−160cos(x)+125
=−289cos2(x)−160cos(x)+125
125−160cos(x)−289cos2(x)=0
用替代法求解
125−160cos(x)−289cos2(x)=0
令:cos(x)=u125−160u−289u2=0
125−160u−289u2=0:u=−2895(16+921),u=2895(921−16)
125−160u−289u2=0
改写成标准形式 ax2+bx+c=0−289u2−160u+125=0
使用求根公式求解
−289u2−160u+125=0
二次方程求根公式:
若 a=−289,b=−160,c=125u1,2=2(−289)−(−160)±(−160)2−4(−289)⋅125
u1,2=2(−289)−(−160)±(−160)2−4(−289)⋅125
(−160)2−4(−289)⋅125=9021
(−160)2−4(−289)⋅125
使用法则 −(−a)=a=(−160)2+4⋅289⋅125
使用指数法则: (−a)n=an,若 n 是偶数(−160)2=1602=1602+4⋅289⋅125
数字相乘:4⋅289⋅125=144500=1602+144500
1602=25600=25600+144500
数字相加:25600+144500=170100=170100
170100质因数分解:22⋅35⋅52⋅7
170100
=35⋅22⋅52⋅7
使用指数法则: ab+c=ab⋅ac=34⋅22⋅52⋅3⋅7
使用根式运算法则: nab=nanb=2234523⋅7
使用根式运算法则: nan=a22=2=234523⋅7
使用根式运算法则: nam=anm34=324=32=32⋅2523⋅7
使用根式运算法则: nan=a52=5=32⋅2⋅53⋅7
整理后得=9021
u1,2=2(−289)−(−160)±9021
将解分隔开u1=2(−289)−(−160)+9021,u2=2(−289)−(−160)−9021
u=2(−289)−(−160)+9021:−2895(16+921)
2(−289)−(−160)+9021
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅289160+9021
数字相乘:2⋅289=578=−578160+9021
使用分式法则: −ba=−ba=−578160+9021
消掉 578160+9021:2895(16+921)
578160+9021
分解 160+9021:10(16+921)
160+9021
改写为=10⋅16+10⋅921
因式分解出通项 10=10(16+921)
=57810(16+921)
约分:2=2895(16+921)
=−2895(16+921)
u=2(−289)−(−160)−9021:2895(921−16)
2(−289)−(−160)−9021
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅289160−9021
数字相乘:2⋅289=578=−578160−9021
使用分式法则: −b−a=ba160−9021=−(9021−160)=5789021−160
分解 9021−160:10(921−16)
9021−160
改写为=10⋅921−10⋅16
因式分解出通项 10=10(921−16)
=57810(921−16)
约分:2=2895(921−16)
二次方程组的解是:u=−2895(16+921),u=2895(921−16)
u=cos(x)代回cos(x)=−2895(16+921),cos(x)=2895(921−16)
cos(x)=−2895(16+921),cos(x)=2895(921−16)
cos(x)=−2895(16+921):x=arccos(−2895(16+921))+2πn,x=−arccos(−2895(16+921))+2πn
cos(x)=−2895(16+921)
使用反三角函数性质
cos(x)=−2895(16+921)
cos(x)=−2895(16+921)的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−2895(16+921))+2πn,x=−arccos(−2895(16+921))+2πn
x=arccos(−2895(16+921))+2πn,x=−arccos(−2895(16+921))+2πn
cos(x)=2895(921−16):x=arccos(2895(921−16))+2πn,x=2π−arccos(2895(921−16))+2πn
cos(x)=2895(921−16)
使用反三角函数性质
cos(x)=2895(921−16)
cos(x)=2895(921−16)的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(2895(921−16))+2πn,x=2π−arccos(2895(921−16))+2πn
x=arccos(2895(921−16))+2πn,x=2π−arccos(2895(921−16))+2πn
合并所有解x=arccos(−2895(16+921))+2πn,x=−arccos(−2895(16+921))+2πn,x=arccos(2895(921−16))+2πn,x=2π−arccos(2895(921−16))+2πn
将解代入原方程进行验证
将它们代入 −15sin(x)−8cos(x)=10检验解是否符合
去除与方程不符的解。
检验 arccos(−2895(16+921))+2πn的解:假
arccos(−2895(16+921))+2πn
代入 n=1arccos(−2895(16+921))+2π1
对于 −15sin(x)−8cos(x)=10代入x=arccos(−2895(16+921))+2π1−15sin(arccos(−2895(16+921))+2π1)−8cos(arccos(−2895(16+921))+2π1)=10
整理后得5.84586…=10
⇒假
检验 −arccos(−2895(16+921))+2πn的解:真
−arccos(−2895(16+921))+2πn
代入 n=1−arccos(−2895(16+921))+2π1
对于 −15sin(x)−8cos(x)=10代入x=−arccos(−2895(16+921))+2π1−15sin(−arccos(−2895(16+921))+2π1)−8cos(−arccos(−2895(16+921))+2π1)=10
整理后得10=10
⇒真
检验 arccos(2895(921−16))+2πn的解:假
arccos(2895(921−16))+2πn
代入 n=1arccos(2895(921−16))+2π1
对于 −15sin(x)−8cos(x)=10代入x=arccos(2895(921−16))+2π1−15sin(arccos(2895(921−16))+2π1)−8cos(arccos(2895(921−16))+2π1)=10
整理后得−16.98773…=10
⇒假
检验 2π−arccos(2895(921−16))+2πn的解:真
2π−arccos(2895(921−16))+2πn
代入 n=12π−arccos(2895(921−16))+2π1
对于 −15sin(x)−8cos(x)=10代入x=2π−arccos(2895(921−16))+2π1−15sin(2π−arccos(2895(921−16))+2π1)−8cos(2π−arccos(2895(921−16))+2π1)=10
整理后得10=10
⇒真
x=−arccos(−2895(16+921))+2πn,x=2π−arccos(2895(921−16))+2πn
以小数形式表示解x=−3.00267…+2πn,x=2π−1.11883…+2πn