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cos^2(x)= 1/2 (1+cos(x))

Solution

cos^{2} (x) = \frac{1}{2} (1 + cos (x))

Solution

x = 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Degrés

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

cos^{2} (x) = \frac{1}{2} (1 + cos (x))

Résoudre par substitution

cos^{2} (x) = \frac{1}{2} (1 + cos (x))

Soit :

cos (x) = u

u^{2} = \frac{1}{2} (1 + u)

u^{2} = \frac{1}{2} (1 + u) : u = 1, u = - \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2} (1 + u)

Multiplier les deux côtés par

2

u^{2} = \frac{1}{2} (1 + u)

Multiplier les deux côtés par

2

u^{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} (1 + u) \cdot 2

Simplifier

2 u^{2} = 1 + u

2 u^{2} = 1 + u

Déplacer

u

vers la gauche

2 u^{2} = 1 + u

Soustraire

u

des deux côtés

2 u^{2} - u = 1 + u - u

Simplifier

2 u^{2} - u = 1

2 u^{2} - u = 1

Déplacer

1

vers la gauche

2 u^{2} - u = 1

Soustraire

1

des deux côtés

2 u^{2} - u - 1 = 1 - 1

Simplifier

2 u^{2} - u - 1 = 0

2 u^{2} - u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

2 u^{2} - u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 2, b = - 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 1 + 8

Additionner les nombres :

1 + 8 = 9

= 9

Factoriser le nombre :

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 \cdot 2}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 + 3}{2 \cdot 2}

Additionner les nombres :

1 + 3 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 - 3}{2 \cdot 2}

Soustraire les nombres :

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= - \frac{1}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Solutions générales pour

cos (x) = 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Exemples populaires

cos^2(x)-2cos(x)=0

cos^{2} (x) - 2 cos (x) = 0

sin(3x)cos(x)+cos(3x)sin(x)=1

sin (3 x) cos (x) + cos (3 x) sin (x) = 1

2sin(x)cos(x)+2sin(x)-cos(x)-1=0

2 sin (x) cos (x) + 2 sin (x) - cos (x) - 1 = 0

sin(θ)tan^2(θ)-sin(θ)=0

sin (θ) tan^{2} (θ) - sin (θ) = 0

sin(x)= 4/5 ,sin(180-x)

sin (x) = \frac{4}{5}, sin (18 0^{\circ} - x)