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sin(x)+cos(x)=a

Solución

sin (x) + cos (x) = a

Solución

x = arcsin (\frac{a}{2}) + 2 πn - \frac{π}{4}, x = π + arcsin (- \frac{a}{2}) + 2 πn - \frac{π}{4}

Pasos de solución

sin (x) + cos (x) = a

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) + cos (x)

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Reescribir como

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

2 sin (x + \frac{π}{4}) = a

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = a

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{a}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{a}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= sin (x + \frac{π}{4})

Simplificar

\frac{a}{2} : \frac{2 a}{2}

\frac{a}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{a 2}{2 2}

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2 a}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2 a}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2 a}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2 a}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2 a}{2}

Soluciones generales para

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2 a}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x + \frac{π}{4} = arcsin (\frac{2 a}{2}) + 2 πn, x + \frac{π}{4} = π + arcsin (- \frac{2 a}{2}) + 2 πn

x + \frac{π}{4} = arcsin (\frac{2 a}{2}) + 2 πn, x + \frac{π}{4} = π + arcsin (- \frac{2 a}{2}) + 2 πn

Resolver

x + \frac{π}{4} = arcsin (\frac{2 a}{2}) + 2 πn : x = arcsin (\frac{a}{2}) + 2 πn - \frac{π}{4}

x + \frac{π}{4} = arcsin (\frac{2 a}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{2 a}{2}) + 2 πn : arcsin (\frac{a}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{2 a}{2}) + 2 πn

\frac{2 a}{2} = \frac{a}{2}

\frac{2 a}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} a}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{a}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Restar:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{a}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{a}{2}

= arcsin (\frac{a}{2}) + 2 πn

x + \frac{π}{4} = arcsin (\frac{a}{2}) + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

x + \frac{π}{4} = arcsin (\frac{a}{2}) + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = arcsin (\frac{a}{2}) + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x = arcsin (\frac{a}{2}) + 2 πn - \frac{π}{4}

x = arcsin (\frac{a}{2}) + 2 πn - \frac{π}{4}

Resolver

x + \frac{π}{4} = π + arcsin (- \frac{2 a}{2}) + 2 πn : x = π + arcsin (- \frac{a}{2}) + 2 πn - \frac{π}{4}

x + \frac{π}{4} = π + arcsin (- \frac{2 a}{2}) + 2 πn

Simplificar

π + arcsin (- \frac{2 a}{2}) + 2 πn : π + arcsin (- \frac{a}{2}) + 2 πn

π + arcsin (- \frac{2 a}{2}) + 2 πn

\frac{2 a}{2} = \frac{a}{2}

\frac{2 a}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} a}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{a}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Restar:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{a}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{a}{2}

= π + arcsin (- \frac{a}{2}) + 2 πn

x + \frac{π}{4} = π + arcsin (- \frac{a}{2}) + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

x + \frac{π}{4} = π + arcsin (- \frac{a}{2}) + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = π + arcsin (- \frac{a}{2}) + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x = π + arcsin (- \frac{a}{2}) + 2 πn - \frac{π}{4}

x = π + arcsin (- \frac{a}{2}) + 2 πn - \frac{π}{4}

x = arcsin (\frac{a}{2}) + 2 πn - \frac{π}{4}, x = π + arcsin (- \frac{a}{2}) + 2 πn - \frac{π}{4}

Ejemplos populares

sin(x)=-sqrt(1/2)

sin (x) = - \frac{1}{2}

tan(x)-(sqrt(3))/3 =0

tan (x) - \frac{3}{3} = 0

tan(2θ)=0.5714

tan (2 θ) = 0.5714

3/(1+cos(θ))=1+2cos(θ)

\frac{3}{1 + cos ( θ )} = 1 + 2 cos (θ)

4-4cos(θ)=6

4 - 4 cos (θ) = 6