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2sin^4(x)=4-7cos^2(x)

Solución

2 sin^{4} (x) = 4 - 7 cos^{2} (x)

Solución

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Grados

x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 sin^{4} (x) = 4 - 7 cos^{2} (x)

Restar

4 - 7 cos^{2} (x)

de ambos lados

2 sin^{4} (x) - 4 + 7 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 4 + 2 sin^{4} (x) + 7 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 + 2 sin^{4} (x) + 7 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

- 4 + 2 sin^{4} (x) + 7 (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin^{4} (x) - 7 sin^{2} (x) + 3

- 4 + 2 sin^{4} (x) + 7 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

7 (1 - sin^{2} (x)) : 7 - 7 sin^{2} (x)

7 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 7, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 7 \cdot 1 - 7 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

7 \cdot 1 = 7

= 7 - 7 sin^{2} (x)

= - 4 + 2 sin^{4} (x) + 7 - 7 sin^{2} (x)

Simplificar

- 4 + 2 sin^{4} (x) + 7 - 7 sin^{2} (x) : 2 sin^{4} (x) - 7 sin^{2} (x) + 3

- 4 + 2 sin^{4} (x) + 7 - 7 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= 2 sin^{4} (x) - 7 sin^{2} (x) - 4 + 7

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 7 = 3

= 2 sin^{4} (x) - 7 sin^{2} (x) + 3

= 2 sin^{4} (x) - 7 sin^{2} (x) + 3

= 2 sin^{4} (x) - 7 sin^{2} (x) + 3

3 + 2 sin^{4} (x) - 7 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

3 + 2 sin^{4} (x) - 7 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

3 + 2 u^{4} - 7 u^{2} = 0

3 + 2 u^{4} - 7 u^{2} = 0 : u = 3, u = - 3, u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

3 + 2 u^{4} - 7 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{4} - 7 u^{2} + 3 = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

2 v^{2} - 7 v + 3 = 0

Resolver

2 v^{2} - 7 v + 3 = 0 : v = 3, v = \frac{1}{2}

2 v^{2} - 7 v + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 v^{2} - 7 v + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 7, c = 3

v_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2}

(- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 5

(- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 7^{2} - 24

7^{2} = 49

= 49 - 24

Restar:

49 - 24 = 25

= 25

Descomponer el número en factores primos:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{2} = 5

= 5

v_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 5}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 2}, v_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 2}

v = \frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 2} : 3

\frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{7 + 5}{2 \cdot 2}

Sumar:

7 + 5 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{12}{4}

Dividir:

\frac{12}{4} = 3

= 3

v = \frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{7 - 5}{2 \cdot 2}

Restar:

7 - 5 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = 3, v = \frac{1}{2}

v = 3, v = \frac{1}{2}

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = 3 : u = 3, u = - 3

u^{2} = 3

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 3, u = - 3

Resolver

u^{2} = \frac{1}{2} : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Las soluciones son

u = 3, u = - 3, u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = 3, sin (x) = - 3, sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = 3, sin (x) = - 3, sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = 3 :

Sin solución

sin (x) = 3

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = - 3 :

Sin solución

sin (x) = - 3

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Ejemplos populares

4cos^2(A)-1=0

4 cos^{2} (A) - 1 = 0

sin((75pi)/(11))=sin((xpi)/(11))

sin (\frac{75 π}{11}) = sin (\frac{x π}{11})

sec^2(θ)= 4/3

sec^{2} (θ) = \frac{4}{3}

cos(x)= 5/3

cos (x) = \frac{5}{3}

1+cos(x)=1

1 + cos (x) = 1