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人気のある三角関数 >

4sin(x)+3cos(x)=4

解

4 sin (x) + 3 cos (x) = 4

解

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.28379 \dots + 2 πn

+1

度

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16.26020 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

4 sin (x) + 3 cos (x) = 4

両辺から

3 cos (x)

を引く

4 sin (x) = 4 - 3 cos (x)

両辺を2乗する

(4 sin (x))^{2} = (4 - 3 cos (x))^{2}

両辺から

(4 - 3 cos (x))^{2}

を引く

16 sin^{2} (x) - 16 + 24 cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 16 + 16 sin^{2} (x) + 24 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 + 16 (1 - cos^{2} (x)) + 24 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

簡素化

- 16 + 16 (1 - cos^{2} (x)) + 24 cos (x) - 9 cos^{2} (x) : 24 cos (x) - 25 cos^{2} (x)

- 16 + 16 (1 - cos^{2} (x)) + 24 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

拡張

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

数を乗じる:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 16 + 16 - 16 cos^{2} (x) + 24 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

簡素化

- 16 + 16 - 16 cos^{2} (x) + 24 cos (x) - 9 cos^{2} (x) : 24 cos (x) - 25 cos^{2} (x)

- 16 + 16 - 16 cos^{2} (x) + 24 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= - 16 cos^{2} (x) + 24 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 16 + 16

類似した元を足す:

- 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 25 cos^{2} (x)

= - 25 cos^{2} (x) + 24 cos (x) - 16 + 16

- 16 + 16 = 0

= 24 cos (x) - 25 cos^{2} (x)

= 24 cos (x) - 25 cos^{2} (x)

= 24 cos (x) - 25 cos^{2} (x)

24 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

置換で解く

24 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

24 u - 25 u^{2} = 0

24 u - 25 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{24}{25}

24 u - 25 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} + 24 u = 0

解くとthe二次式

- 25 u^{2} + 24 u = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 25, b = 24, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 2 4 ^{2} - 4 ( - 25 ) \cdot 0}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 2 4 ^{2} - 4 ( - 25 ) \cdot 0}{2 ( - 25 )}

2 4^{2} - 4 (- 25) \cdot 0 = 24

2 4^{2} - 4 (- 25) \cdot 0

規則を適用

- (- a) = a

= 2 4^{2} + 4 \cdot 25 \cdot 0

規則を適用

0 \cdot a = 0

= 2 4^{2} + 0

2 4^{2} + 0 = 2 4^{2}

= 2 4^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a,

, 以下を想定

a \geq 0

= 24

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 24}{2 ( - 25 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 24 + 24}{2 ( - 25 )}, u_{2} = \frac{- 24 - 24}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- 24 + 24}{2 ( - 25 )} : 0

\frac{- 24 + 24}{2 ( - 25 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 24 + 24}{- 2 \cdot 25}

数を足す/引く:

- 24 + 24 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 25}

数を乗じる:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{0}{- 50}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{50}

規則を適用

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 24 - 24}{2 ( - 25 )} : \frac{24}{25}

\frac{- 24 - 24}{2 ( - 25 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 24 - 24}{- 2 \cdot 25}

数を引く:

- 24 - 24 = - 48

= \frac{- 48}{- 2 \cdot 25}

数を乗じる:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 48}{- 50}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{48}{50}

共通因数を約分する:

2

= \frac{24}{25}

二次equationの解:

u = 0, u = \frac{24}{25}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{24}{25}

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{24}{25}

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

以下の一般解

cos (x) = 0

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{24}{25} : x = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

cos (x) = \frac{24}{25}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{24}{25}

以下の一般解

cos (x) = \frac{24}{25}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

x = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

4 sin (x) + 3 cos (x) = 4

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

\frac{π}{2} + 2 πn :

真

\frac{π}{2} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

4 sin (x) + 3 cos (x) = 4

の挿入向け

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

4 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) + 3 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 4

改良

4 = 4

\Rightarrow 真

解答を確認する

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

偽

\frac{3 π}{2} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

4 sin (x) + 3 cos (x) = 4

の挿入向け

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

4 sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + 3 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 4

改良

- 4 = 4

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1

4 sin (x) + 3 cos (x) = 4

の挿入向け

x = arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1) + 3 cos (arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1) = 4

改良

4 = 4

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1

4 sin (x) + 3 cos (x) = 4

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1) + 3 cos (2 π - arccos (\frac{24}{25}) + 2 π 1) = 4

改良

1.76 = 4

\Rightarrow 偽

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arccos (\frac{24}{25}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.28379 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

3sec^2(θ)-12=5sec(θ)

3 sec^{2} (θ) - 12 = 5 sec (θ)

3cos(x)-sqrt(3)=cos(x)

3 cos (x) - 3 = cos (x)

36 cos (2 x) = 0

cos(θ)=(-1)/2 ,0<= θ<= 4pi

cos (θ) = \frac{- 1}{2}, 0 \leq θ \leq 4 π

20sin^2(x)+27cos(x)=6

20 sin^{2} (x) + 27 cos (x) = 6