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6(1-cos(θ))=sin^2(θ),0<= θ<= 2pi

Solución

6 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ), 0 \leq θ \leq 2 π

Solución

θ = 0, θ = 2 π

Grados

θ = 0^{\circ}, θ = 36 0^{\circ}

Pasos de solución

6 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ), 0 \leq θ \leq 2 π

Restar

sin^{2} (θ)

de ambos lados

6 (1 - cos (θ)) - sin^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- sin^{2} (θ) + (1 - cos (θ)) \cdot 6

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 6

Simplificar

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 6 : cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 5

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 6

= - (1 - cos^{2} (θ)) + 6 (1 - cos (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Poner los parentesis

= - (1) - (- cos^{2} (θ))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + (1 - cos (θ)) \cdot 6

Expandir

6 (1 - cos (θ)) : 6 - 6 cos (θ)

6 (1 - cos (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 6, b = 1, c = cos (θ)

= 6 \cdot 1 - 6 cos (θ)

Multiplicar los numeros:

6 \cdot 1 = 6

= 6 - 6 cos (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + 6 - 6 cos (θ)

Simplificar

- 1 + cos^{2} (θ) + 6 - 6 cos (θ) : cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 5

- 1 + cos^{2} (θ) + 6 - 6 cos (θ)

Agrupar términos semejantes

= cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) - 1 + 6

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 6 = 5

= cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 5

= cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 5

= cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 5

5 + cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) = 0

Usando el método de sustitución

5 + cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

5 + u^{2} - 6 u = 0

5 + u^{2} - 6 u = 0 : u = 5, u = 1

5 + u^{2} - 6 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 6 u + 5 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 6 u + 5 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 6, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}{2 \cdot 1}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 5 = 20

= 6^{2} - 20

6^{2} = 36

= 36 - 20

Restar:

36 - 20 = 16

= 16

Descomponer el número en factores primos:

16 = 4^{2}

= 4^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

4^{2} = 4

= 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 4}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 4}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 4}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 6 ) + 4}{2 \cdot 1} : 5

\frac{- ( - 6 ) + 4}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{6 + 4}{2 \cdot 1}

Sumar:

6 + 4 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{10}{2}

Dividir:

\frac{10}{2} = 5

= 5

u = \frac{- ( - 6 ) - 4}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- ( - 6 ) - 4}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{6 - 4}{2 \cdot 1}

Restar:

6 - 4 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 5, u = 1

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = 5, cos (θ) = 1

cos (θ) = 5, cos (θ) = 1

cos (θ) = 5, 0 \leq θ \leq 2 π :

Sin solución

cos (θ) = 5, 0 \leq θ \leq 2 π

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (θ) = 1, 0 \leq θ \leq 2 π : θ = 0, θ = 2 π

cos (θ) = 1, 0 \leq θ \leq 2 π

Soluciones generales para

cos (θ) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ \leq 2 π

θ = 0, θ = 2 π

Combinar toda las soluciones

θ = 0, θ = 2 π

Ejemplos populares

cot(θ)+sqrt(3)=0,0<= θ<= 2pi

cot (θ) + 3 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π

2cos(θ)-sqrt(2)=0,0<= θ<= 2pi

2 cos (θ) - 2 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π

5cos^2(x)+14sin(x)cos(x)=3sin^2(x)

5 cos^{2} (x) + 14 sin (x) cos (x) = 3 sin^{2} (x)

4cos^2(x)+4sin^2(x)-5=0

4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) - 5 = 0

4sin^2(x)-7cos(x)=2

4 sin^{2} (x) - 7 cos (x) = 2