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Beliebt Trigonometrie >

arctan(x)+arctan(1-x)=arctan(9/7)

Lösung

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Lösung

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Schritte zur Lösung

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

arctan (x) + arctan (1 - x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )})

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{9}{7})

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{9}{7})

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = tan (arctan (\frac{9}{7}))

tan (arctan (\frac{9}{7})) = \frac{9}{7}

tan (arctan (\frac{9}{7}))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan (arctan (\frac{9}{7})) = \frac{9}{7}

Verwende die folgende Identität:

tan (arctan (x)) = x

= \frac{9}{7}

= \frac{9}{7}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Löse

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7} : x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Kreuzmultiplizieren

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Vereinfache

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} : \frac{1}{1 - x ( 1 - x )}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}

x + 1 - x = 1

x + 1 - x

Fasse gleiche Terme zusammen

= x - x + 1

Addiere gleiche Elemente:

x - x = 0

= 1

= \frac{1}{1 - x ( - x + 1 )}

\frac{1}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Wende die Regeln für Multipikation bei Brüchen an: Wenn

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

dann

a \cdot d = b \cdot c

1 \cdot 7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Vereinfache

1 \cdot 7 : 7

1 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 7 = 7

= 7

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Löse

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9 : x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Schreibe

(1 - x (1 - x)) \cdot 9

um:

9 - 9 x + 9 x^{2}

(1 - x (1 - x)) \cdot 9

Multipliziere aus

1 - x (1 - x) : 1 - x + x^{2}

1 - x (1 - x)

Multipliziere aus

- x (1 - x) : - x + x^{2}

- x (1 - x)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 1, c = x

= - x \cdot 1 - (- x) x

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 1 \cdot x + xx

Vereinfache

- 1 \cdot x + xx : - x + x^{2}

- 1 \cdot x + xx

1 \cdot x = x

1 \cdot x

Multipliziere:

1 \cdot x = x

= x

xx = x^{2}

xx

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= - x + x^{2}

= - x + x^{2}

= 1 - x + x^{2}

= 9 (x^{2} - x + 1)

= 9 (1 - x + x^{2})

Setze Klammern

= 9 \cdot 1 + 9 (- x) + 9 x^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= 9 \cdot 1 - 9 x + 9 x^{2}

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 x + 9 x^{2}

7 = 9 - 9 x + 9 x^{2}

Tausche die Seiten

9 - 9 x + 9 x^{2} = 7

Verschiebe

7

auf die linke Seite

9 - 9 x + 9 x^{2} = 7

Subtrahiere

7

von beiden Seiten

9 - 9 x + 9 x^{2} - 7 = 7 - 7

Vereinfache

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 9, b = - 9, c = 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2}{2 \cdot 9}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2}{2 \cdot 9}

(- 9)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 3

(- 9)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 9)^{2} = 9^{2}

= 9^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 9 \cdot 2 = 72

= 9^{2} - 72

9^{2} = 81

= 81 - 72

Subtrahiere die Zahlen:

81 - 72 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm 3}{2 \cdot 9}

Trenne die Lösungen

x_{1} = \frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9}, x_{2} = \frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9}

x = \frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{9 + 3}{2 \cdot 9}

Addiere die Zahlen:

9 + 3 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{12}{18}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{2}{3}

x = \frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9} : \frac{1}{3}

\frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{9 - 3}{2 \cdot 9}

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 3 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{6}{18}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{1}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{2}{3} :

Wahr

\frac{2}{3}

Setze ein

n = 1

\frac{2}{3}

Setze

x = \frac{2}{3}

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

ein, um zu lösen

arctan (\frac{2}{3}) + arctan (1 - \frac{2}{3}) = arctan (\frac{9}{7})

Fasse zusammen

0.90975 \dots = 0.90975 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{1}{3} :

Wahr

\frac{1}{3}

Setze ein

n = 1

\frac{1}{3}

Setze

x = \frac{1}{3}

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

ein, um zu lösen

arctan (\frac{1}{3}) + arctan (1 - \frac{1}{3}) = arctan (\frac{9}{7})

Fasse zusammen

0.90975 \dots = 0.90975 \dots

\Rightarrow Wahr

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Graph

Beliebte Beispiele

(2cos(x)+1)(sin(x)-1)=0

(2 cos (x) + 1) (sin (x) - 1) = 0

3cos^2(θ)-sin^2(θ)=0

3 cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = 0

sin(x)=((sqrt(6))/4)

sin (x) = (\frac{6}{4})

sqrt(3)*sin(x)+cos(x)=sqrt(3)

3 \cdot sin (x) + cos (x) = 3

sin(θ)=(sqrt(5))/5

sin (θ) = \frac{5}{5}