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Populaire Trigonométrie >

arctan(x)+arctan(1-x)=arctan(9/7)

Solution

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Solution

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

étapes des solutions

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

arctan (x) + arctan (1 - x)

Utiliser l'identité de la somme au produit:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )})

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{9}{7})

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{9}{7})

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = tan (arctan (\frac{9}{7}))

tan (arctan (\frac{9}{7})) = \frac{9}{7}

tan (arctan (\frac{9}{7}))

Récrire en utilisant des identités trigonométriques:

tan (arctan (\frac{9}{7})) = \frac{9}{7}

Utiliser l'identité suivante :

tan (arctan (x)) = x

= \frac{9}{7}

= \frac{9}{7}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Résoudre

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7} : x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Multiplier en croix

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Simplifier

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} : \frac{1}{1 - x ( 1 - x )}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}

x + 1 - x = 1

x + 1 - x

Grouper comme termes

= x - x + 1

Additionner les éléments similaires :

x - x = 0

= 1

= \frac{1}{1 - x ( - x + 1 )}

\frac{1}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Appliquer la multiplication des fractions croisées : si

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

alors

a \cdot d = b \cdot c

1 \cdot 7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Simplifier

1 \cdot 7 : 7

1 \cdot 7

Multiplier les nombres :

1 \cdot 7 = 7

= 7

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Résoudre

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9 : x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Développer

(1 - x (1 - x)) \cdot 9 : 9 - 9 x + 9 x^{2}

(1 - x (1 - x)) \cdot 9

Développer

1 - x (1 - x) : 1 - x + x^{2}

1 - x (1 - x)

Développer

- x (1 - x) : - x + x^{2}

- x (1 - x)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 1, c = x

= - x \cdot 1 - (- x) x

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 1 \cdot x + xx

Simplifier

- 1 \cdot x + xx : - x + x^{2}

- 1 \cdot x + xx

1 \cdot x = x

1 \cdot x

Multiplier:

1 \cdot x = x

= x

xx = x^{2}

xx

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= x^{2}

= - x + x^{2}

= - x + x^{2}

= 1 - x + x^{2}

= 9 (x^{2} - x + 1)

= 9 (1 - x + x^{2})

Distribuer des parenthèses

= 9 \cdot 1 + 9 (- x) + 9 x^{2}

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= 9 \cdot 1 - 9 x + 9 x^{2}

Multiplier les nombres :

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 x + 9 x^{2}

7 = 9 - 9 x + 9 x^{2}

Transposer les termes des côtés

9 - 9 x + 9 x^{2} = 7

Déplacer

7

vers la gauche

9 - 9 x + 9 x^{2} = 7

Soustraire

7

des deux côtés

9 - 9 x + 9 x^{2} - 7 = 7 - 7

Simplifier

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 9, b = - 9, c = 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2}{2 \cdot 9}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2}{2 \cdot 9}

(- 9)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 3

(- 9)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 9)^{2} = 9^{2}

= 9^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 9 \cdot 2 = 72

= 9^{2} - 72

9^{2} = 81

= 81 - 72

Soustraire les nombres :

81 - 72 = 9

= 9

Factoriser le nombre :

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm 3}{2 \cdot 9}

Séparer les solutions

x_{1} = \frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9}, x_{2} = \frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9}

x = \frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{9 + 3}{2 \cdot 9}

Additionner les nombres :

9 + 3 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 9}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 9 = 18

= \frac{12}{18}

Annuler le facteur commun :

6

= \frac{2}{3}

x = \frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9} : \frac{1}{3}

\frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{9 - 3}{2 \cdot 9}

Soustraire les nombres :

9 - 3 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 9}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 9 = 18

= \frac{6}{18}

Annuler le facteur commun :

6

= \frac{1}{3}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

\frac{2}{3} :

vrai

\frac{2}{3}

Insérer

n = 1

\frac{2}{3}

Pour

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

insérer

x = \frac{2}{3}

arctan (\frac{2}{3}) + arctan (1 - \frac{2}{3}) = arctan (\frac{9}{7})

Redéfinir

0.90975 \dots = 0.90975 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{1}{3} :

vrai

\frac{1}{3}

Insérer

n = 1

\frac{1}{3}

Pour

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

insérer

x = \frac{1}{3}

arctan (\frac{1}{3}) + arctan (1 - \frac{1}{3}) = arctan (\frac{9}{7})

Redéfinir

0.90975 \dots = 0.90975 \dots

\Rightarrow vrai

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Graphe

Exemples populaires

(2cos(x)+1)(sin(x)-1)=0

(2 cos (x) + 1) (sin (x) - 1) = 0

3cos^2(θ)-sin^2(θ)=0

3 cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = 0

sin(x)=((sqrt(6))/4)

sin (x) = (\frac{6}{4})

sqrt(3)*sin(x)+cos(x)=sqrt(3)

3 \cdot sin (x) + cos (x) = 3

sin(θ)=(sqrt(5))/5

sin (θ) = \frac{5}{5}