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(1+cos(2x))sin(x)=2cos(x)sin(x)

Solución

(1 + cos (2 x)) sin (x) = 2 cos (x) sin (x)

Solución

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grados

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

(1 + cos (2 x)) sin (x) = 2 cos (x) sin (x)

Restar

2 cos (x) sin (x)

de ambos lados

sin (x) (1 + cos (2 x)) - 2 cos (x) sin (x) = 0

Factorizar

sin (x) (1 + cos (2 x)) - 2 cos (x) sin (x) : sin (x) (1 + cos (2 x) - 2 cos (x))

sin (x) (1 + cos (2 x)) - 2 cos (x) sin (x)

Factorizar el termino común

sin (x)

= sin (x) (1 + cos (2 x) - 2 cos (x))

sin (x) (1 + cos (2 x) - 2 cos (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (x) = 0 or 1 + cos (2 x) - 2 cos (x) = 0

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

1 + cos (2 x) - 2 cos (x) = 0 : x = 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

1 + cos (2 x) - 2 cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 + cos (2 x) - 2 cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 2 cos (x)

Simplificar

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 2 cos (x) : 2 cos^{2} (x) - 2 cos (x)

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 2 cos (x)

Agrupar términos semejantes

= 2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x) - 2 cos (x)

= 2 cos^{2} (x) - 2 cos (x)

- 2 cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 2 cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 2 u + 2 u^{2} = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 2 u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} - 2 u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 2}{2 \cdot 2}

Sumar:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Restar:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1, u = 0

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = 0

cos (x) = 1, cos (x) = 0

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluciones generales para

cos (x) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

sin(b)= 2/3

sin (b) = \frac{2}{3}

8tan(x)-3=4

8 tan (x) - 3 = 4

tan(θ)-4=0

tan (θ) - 4 = 0

(-5cos(x)-6sin(x))^2-11sin^2(x)=25

(- 5 cos (x) - 6 sin (x))^{2} - 11 sin^{2} (x) = 25

sec^2(x)+1/2*sec(x)=0

sec^{2} (x) + \frac{1}{2} \cdot sec (x) = 0