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Popular >

(sech^4(x))=tanh^4(x)

Solución

(sech^{4} (x)) = tanh^{4} (x)

Solución

x = ln (2 + 1), x = ln (2 - 1)

Grados

x = 50.49898 \dots^{\circ}, x = - 50.49898 \dots^{\circ}

Pasos de solución

(sech^{4} (x)) = tanh^{4} (x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sech^{4} (x) = tanh^{4} (x)

Utilizar la identidad hiperbólica:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

sech^{4} (x) = (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{4}

Utilizar la identidad hiperbólica:

sech (x) = \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}}

(\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{4} = (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{4}

(\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{4} = (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{4}

(\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{4} = (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{4} : x = ln (2 + 1), x = ln (2 - 1)

(\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{4} = (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes

(\frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}})^{4} = (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(\frac{2}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}})^{4} = (\frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}})^{4}

(\frac{2}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}})^{4} = (\frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}})^{4}

Re escribir la ecuación con

e^{x} = u

(\frac{2}{u + ( u ) ^{- 1}})^{4} = (\frac{u - ( u ) ^{- 1}}{u + ( u ) ^{- 1}})^{4}

Resolver

(\frac{2}{u + u ^{- 1}})^{4} = (\frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}})^{4} : u = 2 + 1, u = 2 - 1

(\frac{2}{u + u ^{- 1}})^{4} = (\frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}})^{4}

Simplificar

\frac{16 u ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}} = \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}}

Multiplicar ambos lados por

(u^{2} + 1)^{4}

\frac{16 u ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}} = \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}}

Multiplicar ambos lados por

(u^{2} + 1)^{4}

\frac{16 u ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}} (u^{2} + 1)^{4} = \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}} (u^{2} + 1)^{4}

Simplificar

\frac{16 u ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}} (u^{2} + 1)^{4} = \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}} (u^{2} + 1)^{4}

Simplificar

\frac{16 u ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}} (u^{2} + 1)^{4} : 16 u^{4}

\frac{16 u ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}} (u^{2} + 1)^{4}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{16 u ^{4} ( u ^{2} + 1 ) ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}}

Eliminar los terminos comunes:

(u^{2} + 1)^{4}

= 16 u^{4}

Simplificar

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}} (u^{2} + 1)^{4} : (u^{2} - 1)^{4}

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}} (u^{2} + 1)^{4}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{4} ( u ^{2} + 1 ) ^{4}}{( u ^{2} + 1 ) ^{4}}

Eliminar los terminos comunes:

(u^{2} + 1)^{4}

= (u^{2} - 1)^{4}

16 u^{4} = (u^{2} - 1)^{4}

16 u^{4} = (u^{2} - 1)^{4}

16 u^{4} = (u^{2} - 1)^{4}

Resolver

16 u^{4} = (u^{2} - 1)^{4} : u = 2 + 1, u = 2 - 1

16 u^{4} = (u^{2} - 1)^{4}

Desarrollar

(u^{2} - 1)^{4} : u^{8} - 4 u^{6} + 6 u^{4} - 4 u^{2} + 1

(u^{2} - 1)^{4}

Aplicar el teorema del binomio:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = u^{2}, b = - 1

= i = 0 \sum 4 (i 4) (u^{2})^{(4 - i)} (- 1)^{i}

Expandir sumatorio

(i n) = \frac{n !}{i ! ( n - i ) !}

i = 0 : \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (u^{2})^{4} (- 1)^{0}

i = 1 : \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (u^{2})^{3} (- 1)^{1}

i = 2 : \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (u^{2})^{2} (- 1)^{2}

i = 3 : \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (u^{2})^{1} (- 1)^{3}

i = 4 : \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (u^{2})^{0} (- 1)^{4}

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (u^{2})^{4} (- 1)^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (u^{2})^{3} (- 1)^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (u^{2})^{2} (- 1)^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (u^{2})^{1} (- 1)^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (u^{2})^{0} (- 1)^{4}

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (u^{2})^{4} (- 1)^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (u^{2})^{3} (- 1)^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (u^{2})^{2} (- 1)^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (u^{2})^{1} (- 1)^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (u^{2})^{0} (- 1)^{4}

Simplificar

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (u^{2})^{4} (- 1)^{0} : u^{8}

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (u^{2})^{4} (- 1)^{0}

Aplicar la regla

a^{0} = 1, a \neq = 0

(- 1)^{0} = 1

= 1 \cdot \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (u^{2})^{4}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{4 ! ( u ^{2} ) ^{4}}{0 ! ( 4 - 0 ) !}

Simplificar

\frac{4 ! ( u ^{2} ) ^{4}}{0 ! ( 4 - 0 ) !} : u^{8}

\frac{4 ! ( u ^{2} ) ^{4}}{0 ! ( 4 - 0 ) !}

0! (4 - 0)! = 4!

0! (4 - 0)!

Restar:

4 - 0 = 4

= 0! \cdot 4!

Aplicar las propiedades de los factoriales:

0! = 1

= 1 \cdot 4!

Multiplicar:

1 \cdot 4! = 4!

= 4!

= \frac{4 ! ( u ^{2} ) ^{4}}{4 !}

Eliminar los terminos comunes:

4!

= (u^{2})^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= u^{8}

= 1 \cdot u^{8}

Multiplicar:

1 \cdot u^{8} = u^{8}

= u^{8}

Simplificar

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (u^{2})^{3} (- 1)^{1} : - 4 u^{6}

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (u^{2})^{3} (- 1)^{1}

Aplicar la regla

a^{1} = a

(- 1)^{1} = - 1

= (- 1) \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (u^{2})^{3}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= - \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (u^{2})^{3} \cdot 1

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - 1 \cdot \frac{4 ! ( u ^{2} ) ^{3}}{1 ! ( 4 - 1 ) !}

Simplificar

\frac{4 ! ( u ^{2} ) ^{3}}{1 ! ( 4 - 1 ) !} : 4 u^{6}

\frac{4 ! ( u ^{2} ) ^{3}}{1 ! ( 4 - 1 ) !}

Restar:

4 - 1 = 3

= \frac{4 ! ( u ^{2} ) ^{3}}{1 ! \cdot 3 !}

Eliminar los factoriales:

\frac{n !}{( n - m ) !} = n \cdot (n - 1) \dots (n - m + 1), n > m

\frac{4 !}{3 !} = 4

= \frac{4 ( u ^{2} ) ^{3}}{1 !}

(u^{2})^{3} = u^{6}

(u^{2})^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= u^{6}

= \frac{4 u ^{6}}{1 !}

Aplicar las propiedades de los factoriales:

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n

1! = 1

= \frac{4 u ^{6}}{1}

Aplicar la regla

\frac{a}{1} = a

= 4 u^{6}

= - 1 \cdot 4 u^{6}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= - 4 u^{6}

Simplificar

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (u^{2})^{2} (- 1)^{2} : 6 u^{4}

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (u^{2})^{2} (- 1)^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 ! ( u ^{2} ) ^{2} ( - 1 ) ^{2}}{2 ! ( 4 - 2 ) !}

4! (u^{2})^{2} (- 1)^{2} = 4! (u^{2})^{2}

4! (u^{2})^{2} (- 1)^{2}

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

= 1 \cdot 4! (u^{2})^{2}

Multiplicar:

(u^{2})^{2} \cdot 1 = (u^{2})^{2}

= 4! (u^{2})^{2}

= \frac{4 ! ( u ^{2} ) ^{2}}{2 ! ( 4 - 2 ) !}

Restar:

4 - 2 = 2

= \frac{4 ! ( u ^{2} ) ^{2}}{2 ! \cdot 2 !}

Eliminar los factoriales:

\frac{n !}{( n - m ) !} = n \cdot (n - 1) \dots (n - m + 1), n > m

\frac{4 !}{2 !} = 4 \cdot 3

= \frac{4 \cdot 3 ( u ^{2} ) ^{2}}{2 !}

Simplificar

= \frac{12 ( u ^{2} ) ^{2}}{2 !}

(u^{2})^{2} = u^{4}

(u^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= u^{4}

= \frac{12 u ^{4}}{2 !}

2! = 2

2!

Aplicar las propiedades de los factoriales:

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n

2! = 1 \cdot 2

= 1 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= 2

= \frac{12 u ^{4}}{2}

Dividir:

\frac{12}{2} = 6

= 6 u^{4}

Simplificar

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (u^{2})^{1} (- 1)^{3} : - 4 u^{2}

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (u^{2})^{1} (- 1)^{3}

Aplicar la regla

a^{1} = a

(u^{2})^{1} = u^{2}

= (- 1)^{3} \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} u^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 ! u ^{2} ( - 1 ) ^{3}}{3 ! ( 4 - 3 ) !}

4! u^{2} (- 1)^{3} = - 4! u^{2}

4! u^{2} (- 1)^{3}

(- 1)^{3} = - 1

(- 1)^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es impar

(- 1)^{3} = - 1^{3}

= - 1^{3}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= - 1

= (- 1) \cdot 4! u^{2}

Simplificar

= - 4! u^{2}

= \frac{- 4 ! u ^{2}}{3 ! ( 4 - 3 ) !}

Restar:

4 - 3 = 1

= \frac{- 4 ! u ^{2}}{3 ! \cdot 1 !}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 ! u ^{2}}{3 ! \cdot 1 !}

Eliminar los factoriales:

\frac{n !}{( n - m ) !} = n \cdot (n - 1) \dots (n - m + 1), n > m

\frac{4 !}{3 !} = 4

= - \frac{4 u ^{2}}{1 !}

Aplicar las propiedades de los factoriales:

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n

1! = 1

= - \frac{4 u ^{2}}{1}

Aplicar la regla

\frac{a}{1} = a

= - 4 u^{2}

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (u^{2})^{0} (- 1)^{4} = 1

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (u^{2})^{0} (- 1)^{4}

Aplicar la regla

a^{0} = 1, a \neq = 0

(u^{2})^{0} = 1

= (- 1)^{4} \cdot 1 \cdot \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{( - 1 ) ^{4} \cdot 4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !}

Eliminar los terminos comunes:

4!

= 1 \cdot \frac{( - 1 ) ^{4}}{( 4 - 4 ) !}

\frac{( - 1 ) ^{4}}{( 4 - 4 ) !} = 1

\frac{( - 1 ) ^{4}}{( 4 - 4 ) !}

(- 1)^{4} = 1

(- 1)^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{4} = 1^{4}

= 1^{4}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

= \frac{1}{( 4 - 4 ) !}

(4 - 4)! = 1

(4 - 4)!

Restar:

4 - 4 = 0

= 0!

Aplicar las propiedades de los factoriales:

0! = 1

= 1

= \frac{1}{1}

Aplicar la regla

\frac{a}{1} = a

= 1

= 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 1 = 1

= 1

= u^{8} - 4 u^{6} + 6 u^{4} - 4 u^{2} + 1

16 u^{4} = u^{8} - 4 u^{6} + 6 u^{4} - 4 u^{2} + 1

Intercambiar lados

u^{8} - 4 u^{6} + 6 u^{4} - 4 u^{2} + 1 = 16 u^{4}

Mover

16 u^{4}

al lado izquierdo

u^{8} - 4 u^{6} + 6 u^{4} - 4 u^{2} + 1 = 16 u^{4}

Restar

16 u^{4}

de ambos lados

u^{8} - 4 u^{6} + 6 u^{4} - 4 u^{2} + 1 - 16 u^{4} = 16 u^{4} - 16 u^{4}

Simplificar

u^{8} - 4 u^{6} - 10 u^{4} - 4 u^{2} + 1 = 0

u^{8} - 4 u^{6} - 10 u^{4} - 4 u^{2} + 1 = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}, v^{3} = u^{6}

v^{4} = u^{8}

v^{4} - 4 v^{3} - 10 v^{2} - 4 v + 1 = 0

Resolver

v^{4} - 4 v^{3} - 10 v^{2} - 4 v + 1 = 0 : v = - 1, v = 3 + 22, v = 3 - 22

v^{4} - 4 v^{3} - 10 v^{2} - 4 v + 1 = 0

Factorizar

v^{4} - 4 v^{3} - 10 v^{2} - 4 v + 1 : (v + 1)^{2} (v^{2} - 6 v + 1)

v^{4} - 4 v^{3} - 10 v^{2} - 4 v + 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1}

- \frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

v + 1

= (v + 1) \frac{v ^{4} - 4 v ^{3} - 10 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1}

\frac{v ^{4} - 4 v ^{3} - 10 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1} = v^{3} - 5 v^{2} - 5 v + 1

\frac{v ^{4} - 4 v ^{3} - 10 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1}

Dividir

\frac{v ^{4} - 4 v ^{3} - 10 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1} : \frac{v ^{4} - 4 v ^{3} - 10 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1} = v^{3} + \frac{- 5 v ^{3} - 10 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

v^{4} - 4 v^{3} - 10 v^{2} - 4 v + 1

y el divisor

v + 1 : \frac{v ^{4}}{v} = v^{3}

Cociente = v^{3}

Multiplicar

v + 1

por

v^{3} : v^{4} + v^{3}

Substraer

v^{4} + v^{3}

v^{4} - 4 v^{3} - 10 v^{2} - 4 v + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 5 v^{3} - 10 v^{2} - 4 v + 1

Por lo tanto

\frac{v ^{4} - 4 v ^{3} - 10 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1} = v^{3} + \frac{- 5 v ^{3} - 10 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1}

= v^{3} + \frac{- 5 v ^{3} - 10 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1}

Dividir

\frac{- 5 v ^{3} - 10 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1} : \frac{- 5 v ^{3} - 10 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1} = - 5 v^{2} + \frac{- 5 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 5 v^{3} - 10 v^{2} - 4 v + 1

y el divisor

v + 1 : \frac{- 5 v ^{3}}{v} = - 5 v^{2}

Cociente = - 5 v^{2}

Multiplicar

v + 1

por

- 5 v^{2} : - 5 v^{3} - 5 v^{2}

Substraer

- 5 v^{3} - 5 v^{2}

- 5 v^{3} - 10 v^{2} - 4 v + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 5 v^{2} - 4 v + 1

Por lo tanto

\frac{- 5 v ^{3} - 10 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1} = - 5 v^{2} + \frac{- 5 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1}

= v^{3} - 5 v^{2} + \frac{- 5 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1}

Dividir

\frac{- 5 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1} : \frac{- 5 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1} = - 5 v + \frac{v + 1}{v + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 5 v^{2} - 4 v + 1

y el divisor

v + 1 : \frac{- 5 v ^{2}}{v} = - 5 v

Cociente = - 5 v

Multiplicar

v + 1

por

- 5 v : - 5 v^{2} - 5 v

Substraer

- 5 v^{2} - 5 v

- 5 v^{2} - 4 v + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = v + 1

Por lo tanto

\frac{- 5 v ^{2} - 4 v + 1}{v + 1} = - 5 v + \frac{v + 1}{v + 1}

= v^{3} - 5 v^{2} - 5 v + \frac{v + 1}{v + 1}

Dividir

\frac{v + 1}{v + 1} : \frac{v + 1}{v + 1} = 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

v + 1

y el divisor

v + 1 : \frac{v}{v} = 1

Cociente = 1

Multiplicar

v + 1

por

1 : v + 1

Substraer

v + 1

v + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{v + 1}{v + 1} = 1

= v^{3} - 5 v^{2} - 5 v + 1

= v^{3} - 5 v^{2} - 5 v + 1

Factorizar

v^{3} - 5 v^{2} - 5 v + 1 : (v + 1) (v^{2} - 6 v + 1)

v^{3} - 5 v^{2} - 5 v + 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1}

- \frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

v + 1

= (v + 1) \frac{v ^{3} - 5 v ^{2} - 5 v + 1}{v + 1}

\frac{v ^{3} - 5 v ^{2} - 5 v + 1}{v + 1} = v^{2} - 6 v + 1

\frac{v ^{3} - 5 v ^{2} - 5 v + 1}{v + 1}

Dividir

\frac{v ^{3} - 5 v ^{2} - 5 v + 1}{v + 1} : \frac{v ^{3} - 5 v ^{2} - 5 v + 1}{v + 1} = v^{2} + \frac{- 6 v ^{2} - 5 v + 1}{v + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

v^{3} - 5 v^{2} - 5 v + 1

y el divisor

v + 1 : \frac{v ^{3}}{v} = v^{2}

Cociente = v^{2}

Multiplicar

v + 1

por

v^{2} : v^{3} + v^{2}

Substraer

v^{3} + v^{2}

v^{3} - 5 v^{2} - 5 v + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 6 v^{2} - 5 v + 1

Por lo tanto

\frac{v ^{3} - 5 v ^{2} - 5 v + 1}{v + 1} = v^{2} + \frac{- 6 v ^{2} - 5 v + 1}{v + 1}

= v^{2} + \frac{- 6 v ^{2} - 5 v + 1}{v + 1}

Dividir

\frac{- 6 v ^{2} - 5 v + 1}{v + 1} : \frac{- 6 v ^{2} - 5 v + 1}{v + 1} = - 6 v + \frac{v + 1}{v + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 6 v^{2} - 5 v + 1

y el divisor

v + 1 : \frac{- 6 v ^{2}}{v} = - 6 v

Cociente = - 6 v

Multiplicar

v + 1

por

- 6 v : - 6 v^{2} - 6 v

Substraer

- 6 v^{2} - 6 v

- 6 v^{2} - 5 v + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = v + 1

Por lo tanto

\frac{- 6 v ^{2} - 5 v + 1}{v + 1} = - 6 v + \frac{v + 1}{v + 1}

= v^{2} - 6 v + \frac{v + 1}{v + 1}

Dividir

\frac{v + 1}{v + 1} : \frac{v + 1}{v + 1} = 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

v + 1

y el divisor

v + 1 : \frac{v}{v} = 1

Cociente = 1

Multiplicar

v + 1

por

1 : v + 1

Substraer

v + 1

v + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{v + 1}{v + 1} = 1

= v^{2} - 6 v + 1

= v^{2} - 6 v + 1

= (v + 1) (v^{2} - 6 v + 1)

= (v + 1) (v + 1) (v^{2} - 6 v + 1)

Simplificar

= (v + 1)^{2} (v^{2} - 6 v + 1)

(v + 1)^{2} (v^{2} - 6 v + 1) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

v + 1 = 0 or v^{2} - 6 v + 1 = 0

Resolver

v + 1 = 0 : v = - 1

v + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

v + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

v + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

v = - 1

v = - 1

Resolver

v^{2} - 6 v + 1 = 0 : v = 3 + 22, v = 3 - 22

v^{2} - 6 v + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

v^{2} - 6 v + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 6, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 42

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 6^{2} - 4

6^{2} = 36

= 36 - 4

Restar:

36 - 4 = 32

= 32

Descomposición en factores primos de

32 : 2^{5}

32

32

divida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Simplificar

= 42

v_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 4 2}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1} : 3 + 22

\frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{6 + 4 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 + 4 2}{2}

Factorizar

6 + 42 : 2 (3 + 22)

6 + 42

Reescribir como

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 + 22)

= \frac{2 ( 3 + 2 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 22

v = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1} : 3 - 22

\frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{6 - 4 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 - 4 2}{2}

Factorizar

6 - 42 : 2 (3 - 22)

6 - 42

Reescribir como

= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 - 22)

= \frac{2 ( 3 - 2 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 22

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = 3 + 22, v = 3 - 22

Las soluciones son

v = - 1, v = 3 + 22, v = 3 - 22

v = - 1, v = 3 + 22, v = 3 - 22

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = - 1 :

Sin solución para

u \in R

u^{2} = - 1

x^{2}

no puede ser negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para u \in R

Resolver

u^{2} = 3 + 22 : u = 2 + 1

u^{2} = 3 + 22

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 3 + 22, u = - 3 + 22

3 + 22 = 2 + 1

3 + 22

= 2 + 22 + 1

= (2)^{2} + 22 + (1)^{2}

1 = 1

1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

= (2)^{2} + 22 + 1^{2}

22 \cdot 1 = 22

22 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 22

= (2)^{2} + 22 \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(2)^{2} + 22 \cdot 1 + 1^{2} = (2 + 1)^{2}

= (2 + 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(2 + 1)^{2} = 2 + 1

= 2 + 1

- 3 + 22 = 2 + 1

- 3 + 22

3 + 22 = 2 + 1

3 + 22

= 2 + 22 + 1

= (2)^{2} + 22 + (1)^{2}

1 = 1

1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

= (2)^{2} + 22 + 1^{2}

22 \cdot 1 = 22

22 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 22

= (2)^{2} + 22 \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(2)^{2} + 22 \cdot 1 + 1^{2} = (2 + 1)^{2}

= (2 + 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(2 + 1)^{2} = 2 + 1

= 2 + 1

= 2 + 1

u = 2 + 1

Resolver

u^{2} = 3 - 22 : u = 2 - 1

u^{2} = 3 - 22

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 3 - 22, u = - 3 - 22

3 - 22 = 2 - 1

3 - 22

= 2 - 22 + 1

= (2)^{2} - 22 + (1)^{2}

1 = 1

1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

= (2)^{2} - 22 + 1^{2}

22 \cdot 1 = 22

22 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 22

= (2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2} = (2 - 1)^{2}

= (2 - 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(2 - 1)^{2} = 2 - 1

= 2 - 1

- 3 - 22 = 2 - 1

- 3 - 22

3 - 22 = 2 - 1

3 - 22

= 2 - 22 + 1

= (2)^{2} - 22 + (1)^{2}

1 = 1

1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

= (2)^{2} - 22 + 1^{2}

22 \cdot 1 = 22

22 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 22

= (2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2} = (2 - 1)^{2}

= (2 - 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(2 - 1)^{2} = 2 - 1

= 2 - 1

= 2 - 1

u = 2 - 1

Las soluciones son

u = 2 + 1, u = 2 - 1

u = 2 + 1, u = 2 - 1

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(\frac{2}{u + u ^{- 1}})^{4}

y comparar con cero

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(\frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}})^{4}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 2 + 1, u = 2 - 1

u = 2 + 1, u = 2 - 1

Sustituir hacia atrás la

u = e^{x},

resolver para

x

Resolver

e^{x} = 2 + 1 : x = ln (2 + 1)

e^{x} = 2 + 1

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = 2 + 1

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (2 + 1)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (2 + 1)

x = ln (2 + 1)

Resolver

e^{x} = 2 - 1 : x = ln (2 - 1)

e^{x} = 2 - 1

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = 2 - 1

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (2 - 1)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (2 - 1)

x = ln (2 - 1)

x = ln (2 + 1), x = ln (2 - 1)

x = ln (2 + 1), x = ln (2 - 1)

Ejemplos populares

(sin(x))/(2+cos(x)-1)=0

\frac{sin ( x )}{2 + cos ( x ) - 1} = 0

solvefor y,arcsin(y)=ln(x)resolver para

y, arcsin (y) = ln (x)

sin(9x+6)=cos(3x-4)

sin (9 x + 6) = cos (3 x - 4)

csc(x)= 1/(sec(x))

csc (x) = \frac{1}{sec ( x )}

sin(x+30)=cos(2x)

sin (x + 3 0^{\circ}) = cos (2 x)