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Popolare Trigonometria >

sin(3x)+cos(2x)=0

Soluzione

sin (3 x) + cos (2 x) = 0

Soluzione

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.94247 \dots + 2 πn, x = π - 0.94247 \dots + 2 πn, x = - 0.31415 \dots + 2 πn, x = π + 0.31415 \dots + 2 πn

Gradi

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 5 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 12 6^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 1 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 19 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

sin (3 x) + cos (2 x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (2 x) + sin (3 x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin (3 x)

sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

sin (3 x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (3 x)

Riscrivi come

= sin (2 x + x)

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Semplifica

cos (2 x) sin (x) + cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) : sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Espandi

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

= sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) + 2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Espandi

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= sin (x) 1 - sin (x) 2 sin^{2} (x)

= 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Semplifica

1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 sin (x)

Moltiplicare:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Espandi

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 sin (x), b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 sin (x) 1 - 2 sin (x) sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Semplifica

2 \cdot 1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x) = 2 sin (x)

2 \cdot 1 sin (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Semplifica

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Raggruppa termini simili

= - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Aggiungi elementi simili:

- 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) = - 4 sin^{3} (x)

= - 4 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Aggiungi elementi simili:

sin (x) + 2 sin (x) = 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= 1 + 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) - 2 sin^{2} (x)

1 - 2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

1 - 2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

1 - 2 u^{2} + 3 u - 4 u^{3} = 0

1 - 2 u^{2} + 3 u - 4 u^{3} = 0 : u = - 1, u = \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{1 - 5}{4}

1 - 2 u^{2} + 3 u - 4 u^{3} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 4 u^{3} - 2 u^{2} + 3 u + 1 = 0

Fattorizza

- 4 u^{3} - 2 u^{2} + 3 u + 1 : - (u + 1) (4 u^{2} - 2 u - 1)

- 4 u^{3} - 2 u^{2} + 3 u + 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (4 u^{3} + 2 u^{2} - 3 u - 1)

Fattorizza

4 u^{3} + 2 u^{2} - 3 u - 1 : (u + 1) (4 u^{2} - 2 u - 1)

4 u^{3} + 2 u^{2} - 3 u - 1

Usa il teorema della radice razionale

a_{0} = 1, a_{n} = 4

I divisori of

a_{0} : 1,

I divisori di

a_{n} : 1, 2, 4

Quindi, controlla i seguenti numeri razionali:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4}

- \frac{1}{1}

è una radice della seguente espressione, quindi il fattore è

u + 1

= (u + 1) \frac{4 u ^{3} + 2 u ^{2} - 3 u - 1}{u + 1}

\frac{4 u ^{3} + 2 u ^{2} - 3 u - 1}{u + 1} = 4 u^{2} - 2 u - 1

\frac{4 u ^{3} + 2 u ^{2} - 3 u - 1}{u + 1}

Dividere

\frac{4 u ^{3} + 2 u ^{2} - 3 u - 1}{u + 1} : \frac{4 u ^{3} + 2 u ^{2} - 3 u - 1}{u + 1} = 4 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - 3 u - 1}{u + 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

4 u^{3} + 2 u^{2} - 3 u - 1

and the divisor

u + 1 : \frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

Quoziente = 4 u^{2}

Moltiplica

u + 1

per

4 u^{2} : 4 u^{3} + 4 u^{2}

Sottrarre

4 u^{3} + 4 u^{2}

4 u^{3} + 2 u^{2} - 3 u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = - 2 u^{2} - 3 u - 1

Quindi

\frac{4 u ^{3} + 2 u ^{2} - 3 u - 1}{u + 1} = 4 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - 3 u - 1}{u + 1}

= 4 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - 3 u - 1}{u + 1}

Dividere

\frac{- 2 u ^{2} - 3 u - 1}{u + 1} : \frac{- 2 u ^{2} - 3 u - 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- 2 u^{2} - 3 u - 1

and the divisor

u + 1 : \frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

Quoziente = - 2 u

Moltiplica

u + 1

per

- 2 u : - 2 u^{2} - 2 u

Sottrarre

- 2 u^{2} - 2 u

- 2 u^{2} - 3 u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = - u - 1

Quindi

\frac{- 2 u ^{2} - 3 u - 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

= 4 u^{2} - 2 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Dividere

\frac{- u - 1}{u + 1} : \frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- u - 1

and the divisor

u + 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quoziente = - 1

Moltiplica

u + 1

per

- 1 : - u - 1

Sottrarre

- u - 1

- u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = 0

Quindi

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

= 4 u^{2} - 2 u - 1

= 4 u^{2} - 2 u - 1

= (u + 1) (4 u^{2} - 2 u - 1)

= - (u + 1) (4 u^{2} - 2 u - 1)

- (u + 1) (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or 4 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Risolvi

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

Risolvi

4 u^{2} - 2 u - 1 = 0 : u = \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{1 - 5}{4}

4 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

4 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 4, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Aggiungi i numeri:

4 + 16 = 20

= 20

Fattorizzazione prima di

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

diviso per

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 10

10

diviso per

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{1 + 5}{4}

\frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 4}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 5}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 + 2 5}{8}

Fattorizza

2 + 25 : 2 (1 + 5)

2 + 25

Riscrivi come

= 2 \cdot 1 + 25

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (1 + 5)

= \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{1 + 5}{4}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{1 - 5}{4}

\frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 4}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 5}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 - 2 5}{8}

Fattorizza

2 - 25 : 2 (1 - 5)

2 - 25

Riscrivi come

= 2 \cdot 1 - 25

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (1 - 5)

= \frac{2 ( 1 - 5 )}{8}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{1 - 5}{4}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{1 - 5}{4}

Le soluzioni sono

u = - 1, u = \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{1 - 5}{4}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1 + 5}{4}, sin (x) = \frac{1 - 5}{4}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1 + 5}{4}, sin (x) = \frac{1 - 5}{4}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluzioni generali per

sin (x) = - 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{1 + 5}{4} : x = arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{1 + 5}{4}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (x) = \frac{1 + 5}{4}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{1 - 5}{4} : x = arcsin (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{1 - 5}{4}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (x) = \frac{1 - 5}{4}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{1 - 5}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.94247 \dots + 2 πn, x = π - 0.94247 \dots + 2 πn, x = - 0.31415 \dots + 2 πn, x = π + 0.31415 \dots + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

tan(x)=-(sqrt(3))/2

tan (x) = - \frac{3}{2}

3sin(x)cos(x)=sin(x)

3 sin (x) cos (x) = sin (x)

cos((5x}{10})=\frac{sqrt(2))/2

cos (\frac{5 x}{10}) = \frac{2}{2}

2cos(θ)tan(θ)-tan(θ)=0

2 cos (θ) tan (θ) - tan (θ) = 0

sqrt(2)=csc(θ)

2 = csc (θ)