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Popular >

csc(θ)=1+cot(θ)

Solución

csc (θ) = 1 + cot (θ)

Solución

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Grados

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

csc (θ) = 1 + cot (θ)

Restar

1 + cot (θ)

de ambos lados

csc (θ) - 1 - cot (θ) = 0

Expresar con seno, coseno

\frac{1}{sin ( θ )} - 1 - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = 0

Simplificar

\frac{1}{sin ( θ )} - 1 - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{1 - cos ( θ ) - sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} - 1 - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{- cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )} - 1

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1 \cdot sin ( θ )}{sin ( θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - cos ( θ ) - 1 \cdot sin ( θ )}{sin ( θ )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= \frac{1 - cos ( θ ) - sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{1 - cos ( θ ) - sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - cos (θ) - sin (θ) = 0

Sumar

sin (θ)

a ambos lados

1 - cos (θ) = sin (θ)

Elevar al cuadrado ambos lados

(1 - cos (θ))^{2} = sin^{2} (θ)

Restar

sin^{2} (θ)

de ambos lados

(1 - cos (θ))^{2} - sin^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(1 - cos (θ))^{2} - sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (1 - cos (θ))^{2} - (1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

(1 - cos (θ))^{2} - (1 - cos^{2} (θ)) : 2 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

(1 - cos (θ))^{2} - (1 - cos^{2} (θ))

(1 - cos (θ))^{2} : 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cos (θ)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

Simplificar

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ) : 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - (1 - cos^{2} (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Poner los parentesis

= - (1) - (- cos^{2} (θ))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ)

Simplificar

1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ) : 2 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) + 1 - 1

Sumar elementos similares:

cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) = 2 cos^{2} (θ)

= - 2 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

= 2 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

= 2 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

- 2 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 2 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

- 2 u + 2 u^{2} = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 2 u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} - 2 u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 2}{2 \cdot 2}

Sumar:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Restar:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1, u = 0

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = 1, cos (θ) = 0

cos (θ) = 1, cos (θ) = 0

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Soluciones generales para

cos (θ) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Soluciones generales para

cos (θ) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

csc (θ) = 1 + cot (θ)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

2 πn :

Verdadero

2 πn

Sustituir

n = 1

2 π 1

Multiplicar

csc (θ) = 1 + cot (θ)

por

θ = 2 π 1

csc (2 π 1) = 1 + cot (2 π 1)

Simplificar

- \infty = - \infty

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{π}{2} + 2 πn :

Verdadero

\frac{π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

csc (θ) = 1 + cot (θ)

por

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

csc (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 1 + cot (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

csc (θ) = 1 + cot (θ)

por

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

csc (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 1 + cot (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Simplificar

- 1 = 1

\Rightarrow Falso

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Siendo que la ecuación esta indefinida para:

2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

cos(2x)=0.98

cos (2 x) = 0.98

8sin^2(x)+2sin(x)-3=0

8 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 3 = 0

2(arcsin(x))^2+(2-pi)arcsin(x)-pi=0

2 (arcsin (x))^{2} + (2 - π) arcsin (x) - π = 0

cos^2(x)+3sin(-x)-2=0

cos^{2} (x) + 3 sin (- x) - 2 = 0

cos(x)=-1,0<x<2pi

cos (x) = - 1, 0 < x < 2 π