English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular >

1/(1+cos(x))+1/(1-cos(x))=32

Solución

\frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )} = 32

Solución

x = 2.88891 \dots + 2 πn, x = - 2.88891 \dots + 2 πn, x = 0.25268 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.25268 \dots + 2 πn

Grados

x = 165.52248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 165.52248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 14.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 345.52248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

\frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )} = 32

Usando el método de sustitución

\frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )} = 32

Sea:

cos (x) = u

\frac{1}{1 + u} + \frac{1}{1 - u} = 32

\frac{1}{1 + u} + \frac{1}{1 - u} = 32 : u = - \frac{15}{4}, u = \frac{15}{4}

\frac{1}{1 + u} + \frac{1}{1 - u} = 32

Multiplicar por el mínimo común múltiplo

\frac{1}{1 + u} + \frac{1}{1 - u} = 32

Encontrar el mínimo común múltiplo de

1 + u, 1 - u : (u + 1) (- u + 1)

1 + u, 1 - u

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

1 + u

1 - u

= (u + 1) (- u + 1)

Multiplicar por el mínimo común múltiplo=

(u + 1) (- u + 1)

\frac{1}{1 + u} (u + 1) (- u + 1) + \frac{1}{1 - u} (u + 1) (- u + 1) = 32 (u + 1) (- u + 1)

Simplificar

\frac{1}{1 + u} (u + 1) (- u + 1) + \frac{1}{1 - u} (u + 1) (- u + 1) = 32 (u + 1) (- u + 1)

Simplificar

\frac{1}{1 + u} (u + 1) (- u + 1) : - u + 1

\frac{1}{1 + u} (u + 1) (- u + 1)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( u + 1 ) ( - u + 1 )}{1 + u}

Eliminar los terminos comunes:

u + 1

= 1 \cdot (- u + 1)

Simplificar

= - u + 1

Simplificar

\frac{1}{1 - u} (u + 1) (- u + 1) : u + 1

\frac{1}{1 - u} (u + 1) (- u + 1)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( u + 1 ) ( - u + 1 )}{1 - u}

Eliminar los terminos comunes:

- u + 1

= 1 \cdot (u + 1)

Simplificar

= u + 1

- u + 1 + u + 1 = 32 (u + 1) (- u + 1)

- u + 1 + u + 1 = 2

- u + 1 + u + 1

Agrupar términos semejantes

= - u + u + 1 + 1

Sumar elementos similares:

- u + u = 0

= 1 + 1

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2

2 = 32 (u + 1) (- u + 1)

2 = 32 (u + 1) (- u + 1)

2 = 32 (u + 1) (- u + 1)

Resolver

2 = 32 (u + 1) (- u + 1) : u = - \frac{15}{4}, u = \frac{15}{4}

2 = 32 (u + 1) (- u + 1)

Desarrollar

32 (u + 1) (- u + 1) : 32 - 32 u^{2}

32 (u + 1) (- u + 1)

Expandir

(u + 1) (- u + 1) : 1 - u^{2}

(u + 1) (- u + 1)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = u

= 1^{2} - u^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - u^{2}

= 32 (1 - u^{2})

Expandir

32 (1 - u^{2}) : 32 - 32 u^{2}

32 (1 - u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 32, b = 1, c = u^{2}

= 32 \cdot 1 - 32 u^{2}

Multiplicar los numeros:

32 \cdot 1 = 32

= 32 - 32 u^{2}

= 32 - 32 u^{2}

2 = 32 - 32 u^{2}

Intercambiar lados

32 - 32 u^{2} = 2

Mover

2

al lado izquierdo

32 - 32 u^{2} = 2

Restar

2

de ambos lados

32 - 32 u^{2} - 2 = 2 - 2

Simplificar

- 32 u^{2} + 30 = 0

- 32 u^{2} + 30 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 32 u^{2} + 30 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 32, b = 0, c = 30

u_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 32 ) \cdot 30}{2 ( - 32 )}

u_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 32 ) \cdot 30}{2 ( - 32 )}

0^{2} - 4 (- 32) \cdot 30 = 1615

0^{2} - 4 (- 32) \cdot 30

Aplicar la regla

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 (- 32) \cdot 30

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 32 \cdot 30

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 32 \cdot 30 = 3840

= 0 + 3840

Sumar:

0 + 3840 = 3840

= 3840

Descomposición en factores primos de

3840 : 2^{8} \cdot 3 \cdot 5

3840

3840

divida por

23840 = 1920 \cdot 2

= 2 \cdot 1920

1920

divida por

21920 = 960 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 960

960

divida por

2960 = 480 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 480

480

divida por

2480 = 240 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 240

240

divida por

2240 = 120 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 120

120

divida por

2120 = 60 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 60

60

divida por

260 = 30 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 30

30

divida por

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 15

15

divida por

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

= 2^{8} \cdot 3 \cdot 5

= 2^{8} \cdot 3 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{8} 3 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^{4}

= 2^{4} 3 \cdot 5

Simplificar

= 1615

u_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 16 15}{2 ( - 32 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 0 + 16 15}{2 ( - 32 )}, u_{2} = \frac{- 0 - 16 15}{2 ( - 32 )}

u = \frac{- 0 + 16 15}{2 ( - 32 )} : - \frac{15}{4}

\frac{- 0 + 16 15}{2 ( - 32 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 0 + 16 15}{- 2 \cdot 32}

- 0 + 1615 = 1615

= \frac{16 15}{- 2 \cdot 32}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 32 = 64

= \frac{16 15}{- 64}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16 15}{64}

Eliminar los terminos comunes:

16

= - \frac{15}{4}

u = \frac{- 0 - 16 15}{2 ( - 32 )} : \frac{15}{4}

\frac{- 0 - 16 15}{2 ( - 32 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 0 - 16 15}{- 2 \cdot 32}

- 0 - 1615 = - 1615

= \frac{- 16 15}{- 2 \cdot 32}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 32 = 64

= \frac{- 16 15}{- 64}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{16 15}{64}

Eliminar los terminos comunes:

16

= \frac{15}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{15}{4}, u = \frac{15}{4}

u = - \frac{15}{4}, u = \frac{15}{4}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = - 1, u = 1

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{1}{1 + u} + \frac{1}{1 - u}

y comparar con cero

Resolver

1 + u = 0 : u = - 1

1 + u = 0

Mover

1

al lado derecho

1 + u = 0

Restar

1

de ambos lados

1 + u - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

1 - u = 0 : u = 1

1 - u = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - u = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - u - 1 = 0 - 1

Simplificar

- u = - 1

- u = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

- u = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

u = 1

u = 1

Los siguientes puntos no están definidos

u = - 1, u = 1

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = - \frac{15}{4}, u = \frac{15}{4}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{15}{4}, cos (x) = \frac{15}{4}

cos (x) = - \frac{15}{4}, cos (x) = \frac{15}{4}

cos (x) = - \frac{15}{4} : x = arccos (- \frac{15}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{15}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{15}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{15}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{15}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{15}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{15}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{15}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{15}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{15}{4} : x = arccos (\frac{15}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{15}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{15}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{15}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{15}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{15}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{15}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{15}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{15}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{15}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{15}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{15}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{15}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 2.88891 \dots + 2 πn, x = - 2.88891 \dots + 2 πn, x = 0.25268 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.25268 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

sin^2(x)=14

sin^{2} (x) = 14

sin(2x)*cos(3x)=0

sin (2 x) \cdot cos (3 x) = 0

sin^2(x)=-3

sin^{2} (x) = - 3

cos(θ)=-2/7

cos (θ) = - \frac{2}{7}

solvefor x,2sin^2(x)+3cos(x)-3=0 resolver para

x, 2 sin^{2} (x) + 3 cos (x) - 3 = 0