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Populaire Trigonométrie >

2cos^4(x)+3sin^2(x)-2=0

Solution

2 cos^{4} (x) + 3 sin^{2} (x) - 2 = 0

Solution

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2.35619 \dots + 2 πn, x = - 2.35619 \dots + 2 πn

Degrés

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 cos^{4} (x) + 3 sin^{2} (x) - 2 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 2 + 2 cos^{4} (x) + 3 sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 2 + 2 cos^{4} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x))

Simplifier

- 2 + 2 cos^{4} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x)) : 2 cos^{4} (x) - 3 cos^{2} (x) + 1

- 2 + 2 cos^{4} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x))

Développer

3 (1 - cos^{2} (x)) : 3 - 3 cos^{2} (x)

3 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (x)

= - 2 + 2 cos^{4} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x)

Simplifier

- 2 + 2 cos^{4} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x) : 2 cos^{4} (x) - 3 cos^{2} (x) + 1

- 2 + 2 cos^{4} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x)

Grouper comme termes

= 2 cos^{4} (x) - 3 cos^{2} (x) - 2 + 3

Additionner/Soustraire les nombres :

- 2 + 3 = 1

= 2 cos^{4} (x) - 3 cos^{2} (x) + 1

= 2 cos^{4} (x) - 3 cos^{2} (x) + 1

= 2 cos^{4} (x) - 3 cos^{2} (x) + 1

1 + 2 cos^{4} (x) - 3 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

1 + 2 cos^{4} (x) - 3 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

1 + 2 u^{4} - 3 u^{2} = 0

1 + 2 u^{4} - 3 u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1, u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 + 2 u^{4} - 3 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{4} - 3 u^{2} + 1 = 0

Récrire l'équation avec

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

2 v^{2} - 3 v + 1 = 0

Résoudre

2 v^{2} - 3 v + 1 = 0 : v = 1, v = \frac{1}{2}

2 v^{2} - 3 v + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

2 v^{2} - 3 v + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 2, b = - 3, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Soustraire les nombres :

9 - 8 = 1

= 1

Appliquer la règle

1 = 1

= 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 1}{2 \cdot 2}

Séparer les solutions

v_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}, v_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

v = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{3 + 1}{2 \cdot 2}

Additionner les nombres :

3 + 1 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{3 - 1}{2 \cdot 2}

Soustraire les nombres :

3 - 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{1}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

v = 1, v = \frac{1}{2}

v = 1, v = \frac{1}{2}

Resubstituer

v = u^{2},

résoudre pour

u

Résoudre

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Appliquer la règle

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Appliquer la règle

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Résoudre

u^{2} = \frac{1}{2} : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Les solutions sont

u = 1, u = - 1, u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - 1, cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = - 1, cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Solutions générales pour

cos (x) = 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Solutions générales pour

cos (x) = - 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2} : x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2.35619 \dots + 2 πn, x = - 2.35619 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

4cos(x)=sin^2(x)+1

4 cos (x) = sin^{2} (x) + 1

cot(A)= 24/7

cot (A) = \frac{24}{7}

(sin(74))/8 =(sin(a))/4

\frac{sin ( 7 4 ^{\circ} )}{8} = \frac{sin ( a )}{4}

sin(x)=sin(x-pi/2)

sin (x) = sin (x - \frac{π}{2})

tan(x)= pi/3

tan (x) = \frac{π}{3}