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3cos(2x)+4cos(4x)-5=0

Solución

3 cos (2 x) + 4 cos (4 x) - 5 = 0

Solución

x = \frac{0.47431 \dots}{2} + πn, x = π - \frac{0.47431 \dots}{2} + πn

Grados

x = 13.58814 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 166.41185 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 cos (2 x) + 4 cos (4 x) - 5 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 5 + 3 cos (2 x) + 4 cos (4 x)

cos (4 x) = 2 cos^{2} (2 x) - 1

cos (4 x)

Reescribir como

= cos (2 \cdot 2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

cos (2 \cdot 2 x) = 2 cos^{2} (2 x) - 1

= 2 cos^{2} (2 x) - 1

= - 5 + 3 cos (2 x) + 4 (2 cos^{2} (2 x) - 1)

Simplificar

- 5 + 3 cos (2 x) + 4 (2 cos^{2} (2 x) - 1) : 8 cos^{2} (2 x) + 3 cos (2 x) - 9

- 5 + 3 cos (2 x) + 4 (2 cos^{2} (2 x) - 1)

Expandir

4 (2 cos^{2} (2 x) - 1) : 8 cos^{2} (2 x) - 4

4 (2 cos^{2} (2 x) - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 2 cos^{2} (2 x), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (2 x) - 4 \cdot 1

Simplificar

4 \cdot 2 cos^{2} (2 x) - 4 \cdot 1 : 8 cos^{2} (2 x) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (2 x) - 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (2 x) - 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 8 cos^{2} (2 x) - 4

= 8 cos^{2} (2 x) - 4

= - 5 + 3 cos (2 x) + 8 cos^{2} (2 x) - 4

Simplificar

- 5 + 3 cos (2 x) + 8 cos^{2} (2 x) - 4 : 8 cos^{2} (2 x) + 3 cos (2 x) - 9

- 5 + 3 cos (2 x) + 8 cos^{2} (2 x) - 4

Agrupar términos semejantes

= 3 cos (2 x) + 8 cos^{2} (2 x) - 5 - 4

Restar:

- 5 - 4 = - 9

= 8 cos^{2} (2 x) + 3 cos (2 x) - 9

= 8 cos^{2} (2 x) + 3 cos (2 x) - 9

= 8 cos^{2} (2 x) + 3 cos (2 x) - 9

- 9 + 3 cos (2 x) + 8 cos^{2} (2 x) = 0

Usando el método de sustitución

- 9 + 3 cos (2 x) + 8 cos^{2} (2 x) = 0

Sea:

cos (2 x) = u

- 9 + 3 u + 8 u^{2} = 0

- 9 + 3 u + 8 u^{2} = 0 : u = \frac{- 3 + 3 33}{16}, u = \frac{- 3 - 3 33}{16}

- 9 + 3 u + 8 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} + 3 u - 9 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

8 u^{2} + 3 u - 9 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 8, b = 3, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 9 )}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 9 )}{2 \cdot 8}

3^{2} - 4 \cdot 8 (- 9) = 333

3^{2} - 4 \cdot 8 (- 9)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 9

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 8 \cdot 9 = 288

= 3^{2} + 288

3^{2} = 9

= 9 + 288

Sumar:

9 + 288 = 297

= 297

Descomposición en factores primos de

297 : 3^{3} \cdot 11

297

297

divida por

3297 = 99 \cdot 3

= 3 \cdot 99

99

divida por

399 = 33 \cdot 3

= 3 \cdot 3 \cdot 33

33

divida por

333 = 11 \cdot 3

= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11

3, 11

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11

= 3^{3} \cdot 11

= 3^{3} \cdot 11

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 3^{2} \cdot 3 \cdot 11

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 3^{2} 3 \cdot 11

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 3 3 \cdot 11

Simplificar

= 333

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 33}{2 \cdot 8}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 3 + 3 33}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 3 - 3 33}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 3 + 3 33}{2 \cdot 8} : \frac{- 3 + 3 33}{16}

\frac{- 3 + 3 33}{2 \cdot 8}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 3 + 3 33}{16}

u = \frac{- 3 - 3 33}{2 \cdot 8} : \frac{- 3 - 3 33}{16}

\frac{- 3 - 3 33}{2 \cdot 8}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 3 - 3 33}{16}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 3 + 3 33}{16}, u = \frac{- 3 - 3 33}{16}

Sustituir en la ecuación

u = cos (2 x)

cos (2 x) = \frac{- 3 + 3 33}{16}, cos (2 x) = \frac{- 3 - 3 33}{16}

cos (2 x) = \frac{- 3 + 3 33}{16}, cos (2 x) = \frac{- 3 - 3 33}{16}

cos (2 x) = \frac{- 3 + 3 33}{16} : x = \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + πn, x = π - \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + πn

cos (2 x) = \frac{- 3 + 3 33}{16}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (2 x) = \frac{- 3 + 3 33}{16}

Soluciones generales para

cos (2 x) = \frac{- 3 + 3 33}{16}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

2 x = arccos (\frac{- 3 + 3 33}{16}) + 2 πn, 2 x = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 3 33}{16}) + 2 πn

2 x = arccos (\frac{- 3 + 3 33}{16}) + 2 πn, 2 x = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 3 33}{16}) + 2 πn

Resolver

2 x = arccos (\frac{- 3 + 3 33}{16}) + 2 πn : x = \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + πn

2 x = arccos (\frac{- 3 + 3 33}{16}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = arccos (\frac{- 3 + 3 33}{16}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + πn

x = \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + πn

Resolver

2 x = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 3 33}{16}) + 2 πn : x = π - \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + πn

2 x = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 3 33}{16}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 3 33}{16}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2} - \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = π - \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + πn

x = π - \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + πn

x = \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + πn, x = π - \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + πn

cos (2 x) = \frac{- 3 - 3 33}{16} :

Sin solución

cos (2 x) = \frac{- 3 - 3 33}{16}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + πn, x = π - \frac{arccos ( \frac{- 3 + 3 33}{16} )}{2} + πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{0.47431 \dots}{2} + πn, x = π - \frac{0.47431 \dots}{2} + πn

Ejemplos populares

cos(2θ)= 20/29

cos (2 θ) = \frac{20}{29}

-6sin(3x)=0

- 6 sin (3 x) = 0

sin(x)=(sqrt(2))/4

sin (x) = \frac{2}{4}

2tan(2x)-6=0

2 tan (2 x) - 6 = 0

8sin(θ)+15cos(θ)=18

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 18