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Beliebt Trigonometrie >

5cos(x)-sin(x)=1

Lösung

5 cos (x) - sin (x) = 1

Lösung

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 1.17600 \dots + 2 πn

Grad

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 67.38013 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 cos (x) - sin (x) = 1

Füge

sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

5 cos (x) = 1 + sin (x)

Quadriere beide Seiten

(5 cos (x))^{2} = (1 + sin (x))^{2}

Subtrahiere

(1 + sin (x))^{2}

von beiden Seiten

25 cos^{2} (x) - 1 - 2 sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - sin^{2} (x) + 25 cos^{2} (x) - 2 sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 2 sin (x)

Vereinfache

- 1 - sin^{2} (x) + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 2 sin (x) : - 26 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 24

- 1 - sin^{2} (x) + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 2 sin (x)

Multipliziere aus

25 (1 - sin^{2} (x)) : 25 - 25 sin^{2} (x)

25 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 25 \cdot 1 - 25 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) + 25 - 25 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

Vereinfache

- 1 - sin^{2} (x) + 25 - 25 sin^{2} (x) - 2 sin (x) : - 26 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 24

- 1 - sin^{2} (x) + 25 - 25 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin^{2} (x) - 25 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 + 25

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (x) - 25 sin^{2} (x) = - 26 sin^{2} (x)

= - 26 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 + 25

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 25 = 24

= - 26 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 24

= - 26 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 24

= - 26 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 24

24 - 26 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

24 - 26 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

24 - 26 u^{2} - 2 u = 0

24 - 26 u^{2} - 2 u = 0 : u = - 1, u = \frac{12}{13}

24 - 26 u^{2} - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 26 u^{2} - 2 u + 24 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 26 u^{2} - 2 u + 24 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 26, b = - 2, c = 24

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 26 ) \cdot 24}{2 ( - 26 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 26 ) \cdot 24}{2 ( - 26 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 26) \cdot 24 = 50

(- 2)^{2} - 4 (- 26) \cdot 24

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 26 \cdot 24

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 26 \cdot 24

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 26 \cdot 24 = 2496

= 2^{2} + 2496

2^{2} = 4

= 4 + 2496

Addiere die Zahlen:

4 + 2496 = 2500

= 2500

Faktorisiere die Zahl:

2500 = 5 0^{2}

= 5 0^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5 0^{2} = 50

= 50

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 50}{2 ( - 26 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 50}{2 ( - 26 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 50}{2 ( - 26 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 50}{2 ( - 26 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 50}{2 ( - 26 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 50}{- 2 \cdot 26}

Addiere die Zahlen:

2 + 50 = 52

= \frac{52}{- 2 \cdot 26}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{52}{- 52}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{52}{52}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 50}{2 ( - 26 )} : \frac{12}{13}

\frac{- ( - 2 ) - 50}{2 ( - 26 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 50}{- 2 \cdot 26}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 50 = - 48

= \frac{- 48}{- 2 \cdot 26}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 48}{- 52}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{48}{52}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{12}{13}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{12}{13}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{12}{13}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{12}{13}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{12}{13} : x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

sin (x) = \frac{12}{13}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{12}{13}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{12}{13}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

5 cos (x) - sin (x) = 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

5 cos (x) - sin (x) = 1

ein, um zu lösen

5 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) - sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1

5 cos (x) - sin (x) = 1

ein, um zu lösen

5 cos (arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1) - sin (arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1

5 cos (x) - sin (x) = 1

ein, um zu lösen

5 cos (π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1) - sin (π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

- 2.84615 \dots = 1

\Rightarrow Falsch

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 1.17600 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)=(sqrt(3))/2 ,tan(x)

cos (x) = \frac{3}{2}, tan (x)

cos(x)=0.59

cos (x) = 0.59

cos(x)=0.92

cos (x) = 0.92

cos(x)=0.94

cos (x) = 0.94

cos(x)=0.73

cos (x) = 0.73