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Beliebt Trigonometrie >

2+3cot^2(θ)-3csc(θ)=5

Lösung

2 + 3 cot^{2} (θ) - 3 csc (θ) = 5

Lösung

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 + 3 cot^{2} (θ) - 3 csc (θ) = 5

Subtrahiere

5

von beiden Seiten

3 cot^{2} (θ) - 3 csc (θ) - 3 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 3 + 3 cot^{2} (θ) - 3 csc (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 + cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

cot^{2} (x) = csc^{2} (x) - 1

= - 3 + 3 (csc^{2} (θ) - 1) - 3 csc (θ)

Vereinfache

- 3 + 3 (csc^{2} (θ) - 1) - 3 csc (θ) : 3 csc^{2} (θ) - 3 csc (θ) - 6

- 3 + 3 (csc^{2} (θ) - 1) - 3 csc (θ)

Multipliziere aus

3 (csc^{2} (θ) - 1) : 3 csc^{2} (θ) - 3

3 (csc^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = csc^{2} (θ), c = 1

= 3 csc^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 csc^{2} (θ) - 3

= - 3 + 3 csc^{2} (θ) - 3 - 3 csc (θ)

Vereinfache

- 3 + 3 csc^{2} (θ) - 3 - 3 csc (θ) : 3 csc^{2} (θ) - 3 csc (θ) - 6

- 3 + 3 csc^{2} (θ) - 3 - 3 csc (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 3 csc^{2} (θ) - 3 csc (θ) - 3 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

- 3 - 3 = - 6

= 3 csc^{2} (θ) - 3 csc (θ) - 6

= 3 csc^{2} (θ) - 3 csc (θ) - 6

= 3 csc^{2} (θ) - 3 csc (θ) - 6

- 6 - 3 csc (θ) + 3 csc^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 6 - 3 csc (θ) + 3 csc^{2} (θ) = 0

Angenommen:

csc (θ) = u

- 6 - 3 u + 3 u^{2} = 0

- 6 - 3 u + 3 u^{2} = 0 : u = 2, u = - 1

- 6 - 3 u + 3 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 3 u - 6 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} - 3 u - 6 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = - 3, c = - 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 6 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 6 )}{2 \cdot 3}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 3 (- 6) = 9

(- 3)^{2} - 4 \cdot 3 (- 6)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 6

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 6

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 6 = 72

= 3^{2} + 72

3^{2} = 9

= 9 + 72

Addiere die Zahlen:

9 + 72 = 81

= 81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 9}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 9}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 9}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 3 ) + 9}{2 \cdot 3} : 2

\frac{- ( - 3 ) + 9}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 + 9}{2 \cdot 3}

Addiere die Zahlen:

3 + 9 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{12}{6}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{6} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 3 ) - 9}{2 \cdot 3} : - 1

\frac{- ( - 3 ) - 9}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 - 9}{2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 9 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{6}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2, u = - 1

Setze in

u = csc (θ)

ein

csc (θ) = 2, csc (θ) = - 1

csc (θ) = 2, csc (θ) = - 1

csc (θ) = 2 : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (θ) = 2

Allgemeine Lösung für

csc (θ) = 2

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (θ) = - 1 : θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

csc (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

csc (θ) = - 1

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin(6x)+2sin(2x)=0

2 sin (6 x) + 2 sin (2 x) = 0

tan^2(2x)-1=sec(2x)

tan^{2} (2 x) - 1 = sec (2 x)

-1.92=cos(x)

- 1.92 = cos (x)

5cot^2(x)+8cot(x)+3=0

5 cot^{2} (x) + 8 cot (x) + 3 = 0

sin(x)= 15/31

sin (x) = \frac{15}{31}