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tan(x)+cot(x)=2sec(x)

Solución

tan (x) + cot (x) = 2 sec (x)

Solución

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan (x) + cot (x) = 2 sec (x)

Restar

2 sec (x)

de ambos lados

tan (x) + cot (x) - 2 sec (x) = 0

Expresar con seno, coseno

cot (x) + tan (x) - 2 sec (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + tan (x) - 2 sec (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 sec (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) ( sin ( x ) - 2 )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} = \frac{2}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{2}{cos ( x )}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{sin ( x ) - 2}{cos ( x )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - 2}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x ) - 2}{cos ( x )}

Mínimo común múltiplo de

sin (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

sin (x)

cos (x)

= sin (x) cos (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Para

\frac{sin ( x ) - 2}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x)

\frac{sin ( x ) - 2}{cos ( x )} = \frac{( sin ( x ) - 2 ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} + \frac{( sin ( x ) - 2 ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + ( sin ( x ) - 2 ) sin ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) ( sin ( x ) - 2 )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ^{2} ( x ) + ( - 2 + sin ( x ) ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (x) + (- 2 + sin (x)) sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos^{2} (x) + (- 2 + sin (x)) sin (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x) + (- 2 + sin (x)) sin (x)

Simplificar

1 - sin^{2} (x) + (- 2 + sin (x)) sin (x) : - 2 sin (x) + 1

1 - sin^{2} (x) + (- 2 + sin (x)) sin (x)

= 1 - sin^{2} (x) + sin (x) (- 2 + sin (x))

Expandir

sin (x) (- 2 + sin (x)) : - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

sin (x) (- 2 + sin (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = sin (x), b = - 2, c = sin (x)

= sin (x) (- 2) + sin (x) sin (x)

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 2 sin (x) + sin (x) sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Simplificar

1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + sin^{2} (x) : - 2 sin (x) + 1

1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + sin^{2} (x) + 1

Sumar elementos similares:

- sin^{2} (x) + sin^{2} (x) = 0

= - 2 sin (x) + 1

= - 2 sin (x) + 1

= - 2 sin (x) + 1

1 - 2 sin (x) = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - 2 sin (x) = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - 2 sin (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

- 2 sin (x) = - 1

- 2 sin (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 2

- 2 sin (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 2

\frac{- 2 sin ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Simplificar

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

12sin^2(θ)=9

12 sin^{2} (θ) = 9

2cos(x)+sqrt(3)=0,0<= x<= 2pi

2 cos (x) + 3 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

(cot^2(x))/(1+sin(x))=(csc(x)-1)/(sin^2(x))

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

tan(x)=2.3

tan (x) = 2.3

2sec^2(x)=5tan(x)+5

2 sec^{2} (x) = 5 tan (x) + 5