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(sin(x)+cos(x))^2=2

Solución

(sin (x) + cos (x))^{2} = 2

Solución

x = 2 πn + \frac{5 π}{4}, x = 2 πn + \frac{π}{4}

Grados

x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

(sin (x) + cos (x))^{2} = 2

Restar

2

de ambos lados

(sin (x) + cos (x))^{2} - 2 = 0

Factorizar

(sin (x) + cos (x))^{2} - 2 : (sin (x) + cos (x) + 2) (sin (x) + cos (x) - 2)

(sin (x) + cos (x))^{2} - 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (sin (x) + cos (x))^{2} - (2)^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin (x) + cos (x))^{2} - (2)^{2} = ((sin (x) + cos (x)) + 2) ((sin (x) + cos (x)) - 2)

= ((sin (x) + cos (x)) + 2) ((sin (x) + cos (x)) - 2)

Simplificar

= (sin (x) + cos (x) + 2) (sin (x) + cos (x) - 2)

(sin (x) + cos (x) + 2) (sin (x) + cos (x) - 2) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (x) + cos (x) + 2 = 0 or sin (x) + cos (x) - 2 = 0

sin (x) + cos (x) + 2 = 0 : x = 2 πn + \frac{5 π}{4}

sin (x) + cos (x) + 2 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) + cos (x) + 2

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Reescribir como

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 2 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

2 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Mover

2

al lado derecho

2 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Restar

2

de ambos lados

2 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) - 2 = 0 - 2

Simplificar

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 2

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 2

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 2}{2}

Simplificar

sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Soluciones generales para

sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Resolver

x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{5 π}{4}

x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Simplificar

\frac{3 π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{5 π}{4}

\frac{3 π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{3 π}{2}

Mínimo común múltiplo de

4, 2 : 4

4, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

2

= 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{3 π}{2} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{3 π}{2} = \frac{3 π 2}{2 \cdot 2} = \frac{6 π}{4}

= - \frac{π}{4} + \frac{6 π}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 6 π}{4}

Sumar elementos similares:

- π + 6 π = 5 π

= 2 πn + \frac{5 π}{4}

x = 2 πn + \frac{5 π}{4}

x = 2 πn + \frac{5 π}{4}

x = 2 πn + \frac{5 π}{4}

x = 2 πn + \frac{5 π}{4}

sin (x) + cos (x) - 2 = 0 : x = 2 πn + \frac{π}{4}

sin (x) + cos (x) - 2 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) + cos (x) - 2

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Reescribir como

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= - 2 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

- 2 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Mover

2

al lado derecho

- 2 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Sumar

2

a ambos lados

- 2 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) + 2 = 0 + 2

Simplificar

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 2

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 2

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{2}{2}

Simplificar

sin (x + \frac{π}{4}) = 1

sin (x + \frac{π}{4}) = 1

Soluciones generales para

sin (x + \frac{π}{4}) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Resolver

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{π}{4}

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Simplificar

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn + \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

Mínimo común múltiplo de

2, 4 : 4

2, 4

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

2

4

= 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para