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Popular >

cos^2(x)-sin^2(x)=sec^2(x)-csc^2(x)

Solución

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = sec^{2} (x) - csc^{2} (x)

Solución

x = \frac{3 π}{4} + πn, x = \frac{π}{4} + πn

Grados

x = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = sec^{2} (x) - csc^{2} (x)

Restar

sec^{2} (x) - csc^{2} (x)

de ambos lados

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - sec^{2} (x) + csc^{2} (x) = 0

Expresar con seno, coseno

cos^{2} (x) + csc^{2} (x) - sec^{2} (x) - sin^{2} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= cos^{2} (x) + (\frac{1}{sin ( x )})^{2} - sec^{2} (x) - sin^{2} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= cos^{2} (x) + (\frac{1}{sin ( x )})^{2} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} - sin^{2} (x)

Simplificar

cos^{2} (x) + (\frac{1}{sin ( x )})^{2} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} - sin^{2} (x) : \frac{cos ^{4} ( x ) sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

cos^{2} (x) + (\frac{1}{sin ( x )})^{2} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} - sin^{2} (x)

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= cos^{2} (x) + \frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - sin^{2} (x)

Convertir a fracción:

cos^{2} (x) = \frac{cos ^{2} ( x )}{1}, sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{1} + \frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{1}

Mínimo común múltiplo de

1, sin^{2} (x), cos^{2} (x), 1 : sin^{2} (x) cos^{2} (x)

1, sin^{2} (x), cos^{2} (x), 1

Mínimo común múltiplo (MCM)

Mínimo común múltiplo de

1, 1 : 1

1, 1

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

1

Descomposición en factores primos de

1

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

1

1

= 1

Multiplicar los numeros:

1 = 1

= 1

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan en al menos una de las expresiones factorizadas

= sin^{2} (x) cos^{2} (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cos ^{2} ( x )}{1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin^{2} (x) cos^{2} (x)

\frac{cos ^{2} ( x )}{1} = \frac{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{1 \cdot sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{4} ( x ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Para

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos^{2} (x)

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Para

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin^{2} (x)

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Para

\frac{sin ^{2} ( x )}{1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin^{2} (x) cos^{2} (x)

\frac{sin ^{2} ( x )}{1} = \frac{sin ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{1 \cdot sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{4} ( x ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{4} ( x ) sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{4} ( x ) sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x ) sin ^{4} ( x ) + cos ^{4} ( x ) sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - cos^{2} (x) sin^{4} (x) + cos^{4} (x) sin^{2} (x) = 0

Factorizar

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - cos^{2} (x) sin^{4} (x) + cos^{4} (x) sin^{2} (x) : (1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x)) (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - cos^{2} (x) sin^{4} (x) + cos^{4} (x) sin^{2} (x)

Factorizar

cos^{2} (x) + cos^{4} (x) sin^{2} (x) : cos^{2} (x) (1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x))

cos^{2} (x) + cos^{4} (x) sin^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{4} (x) = cos^{2} (x) cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) + cos^{2} (x) cos^{2} (x) sin^{2} (x)

Factorizar el termino común

cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) (1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x))

Factorizar

- sin^{2} (x) - cos^{2} (x) sin^{4} (x) : - sin^{2} (x) (1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x))

- sin^{2} (x) - cos^{2} (x) sin^{4} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{4} (x) = sin^{2} (x) sin^{2} (x)

= - sin^{2} (x) - cos^{2} (x) sin^{2} (x) sin^{2} (x)

Factorizar el termino común

sin^{2} (x)

= - sin^{2} (x) (1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x))

= cos^{2} (x) (1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x)) - sin^{2} (x) (1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x))

Factorizar el termino común

(1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x))

= (1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x)) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Factorizar

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) : (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) (cos^{2} (x) sin^{2} (x) + 1)

(1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x)) (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x) = 0 or cos (x) + sin (x) = 0 or cos (x) - sin (x) = 0

1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x) = 0 :

Sin solución

1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 + cos^{2} (x) sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + (1 - sin^{2} (x)) sin^{2} (x)

1 + (1 - sin^{2} (x)) sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

1 + (1 - sin^{2} (x)) sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

1 + (1 - u^{2}) u^{2} = 0

1 + (1 - u^{2}) u^{2} = 0 : u = i \frac{- 1 + 5}{2}, u = - i \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

1 + (1 - u^{2}) u^{2} = 0

Desarrollar

1 + (1 - u^{2}) u^{2} : 1 + u^{2} - u^{4}

1 + (1 - u^{2}) u^{2}

= 1 + u^{2} (1 - u^{2})

Expandir

u^{2} (1 - u^{2}) : u^{2} - u^{4}

u^{2} (1 - u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = u^{2}, b = 1, c = u^{2}

= u^{2} \cdot 1 - u^{2} u^{2}

= 1 \cdot u^{2} - u^{2} u^{2}

Simplificar

1 \cdot u^{2} - u^{2} u^{2} : u^{2} - u^{4}

1 \cdot u^{2} - u^{2} u^{2}

1 \cdot u^{2} = u^{2}

1 \cdot u^{2}

Multiplicar:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= u^{2}

u^{2} u^{2} = u^{4}

u^{2} u^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Sumar:

2 + 2 = 4

= u^{4}

= u^{2} - u^{4}

= u^{2} - u^{4}

= 1 + u^{2} - u^{4}

1 + u^{2} - u^{4} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{4} + u^{2} + 1 = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

- v^{2} + v + 1 = 0

Resolver

- v^{2} + v + 1 = 0 : v = - \frac{- 1 + 5}{2}, v = \frac{1 + 5}{2}

- v^{2} + v + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- v^{2} + v + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 1, b = 1, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Sumar:

1 + 4 = 5

= 5

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 ( - 1 )}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}, v_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

v = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 5}{2}

v = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 1 - 5 = - (1 + 5)

= \frac{1 + 5}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = - \frac{- 1 + 5}{2}, v = \frac{1 + 5}{2}

v = - \frac{- 1 + 5}{2}, v = \frac{1 + 5}{2}

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = - \frac{- 1 + 5}{2} : u = i \frac{- 1 + 5}{2}, u = - i \frac{- 1 + 5}{2}

u^{2} = - \frac{- 1 + 5}{2}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = - - \frac{- 1 + 5}{2}

Simplificar

- \frac{- 1 + 5}{2} : i \frac{- 1 + 5}{2}

- \frac{- 1 + 5}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

- a = - 1 a

- \frac{5 - 1}{2} = - 1 \frac{5 - 1}{2}

= - 1 \frac{5 - 1}{2}

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= i \frac{5 - 1}{2}

Simplificar

- - \frac{- 1 + 5}{2} : - i \frac{- 1 + 5}{2}

- - \frac{- 1 + 5}{2}

Simplificar

- \frac{- 1 + 5}{2} : i \frac{5 - 1}{2}

- \frac{- 1 + 5}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

- a = - 1 a

- \frac{5 - 1}{2} = - 1 \frac{5 - 1}{2}

= - 1 \frac{5 - 1}{2}

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= i \frac{5 - 1}{2}

= - i \frac{5 - 1}{2}

= - i \frac{- 1 + 5}{2}

u = i \frac{- 1 + 5}{2}, u = - i \frac{- 1 + 5}{2}

Resolver

u^{2} = \frac{1 + 5}{2} : u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

u^{2} = \frac{1 + 5}{2}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

Las soluciones son

u = i \frac{- 1 + 5}{2}, u = - i \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = i \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = - i \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{1 + 5}{2}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}

sin (x) = i \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = - i \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{1 + 5}{2}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}

sin (x) = i \frac{- 1 + 5}{2} :

Sin solución

sin (x) = i \frac{- 1 + 5}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = - i \frac{- 1 + 5}{2} :

Sin solución

sin (x) = - i \frac{- 1 + 5}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = \frac{1 + 5}{2} :

Sin solución

sin (x) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = - \frac{1 + 5}{2} :

Sin solución

sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) + sin (x) = 0 : x = \frac{3 π}{4} + πn

cos (x) + sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (x) + sin (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 + tan (x) = 0

1 + tan (x) = 0

Mover

1

al lado derecho

1 + tan (x) = 0

Restar

1

de ambos lados

1 + tan (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

tan (x) = - 1

tan (x) = - 1

Soluciones generales para

tan (x) = - 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

cos (x) - sin (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

cos (x) - sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (x) - sin (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 - tan (x) = 0

1 - tan (x) = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - tan (x) = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - tan (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

- tan (x) = - 1

- tan (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

- tan (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- tan ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Soluciones generales para

tan (x) = 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{3 π}{4} + πn, x = \frac{π}{4} + πn

Ejemplos populares

2-3sin(x)=0

2 - 3 sin (x) = 0

solvefor y=cos(x),x resolver para

y = cos (x), x

(cos(θ))/(sin(θ))=0

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = 0

sin(2x)=sin(x),0<= x<2pi

sin (2 x) = sin (x), 0 \leq x < 2 π

tan(θ)= 5/(5sqrt(3))

tan (θ) = \frac{5}{5 3}