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5=7-cos(θ)+5cos(2θ)

Lösung

5 = 7 - cos (θ) + 5 cos (2 θ)

Lösung

θ = 0.92729 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.92729 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 306.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 = 7 - cos (θ) + 5 cos (2 θ)

Tausche die Seiten

7 - cos (θ) + 5 cos (2 θ) = 5

Subtrahiere

5

von beiden Seiten

5 cos (2 θ) - cos (θ) + 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 - cos (θ) + 5 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 - cos (θ) + 5 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Vereinfache

2 - cos (θ) + 5 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 10 cos^{2} (θ) - cos (θ) - 3

2 - cos (θ) + 5 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Multipliziere aus

5 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 10 cos^{2} (θ) - 5

5 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 5 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 5 \cdot 1

Vereinfache

5 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 5 \cdot 1 : 10 cos^{2} (θ) - 5

5 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 5 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= 10 cos^{2} (θ) - 5 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= 10 cos^{2} (θ) - 5

= 10 cos^{2} (θ) - 5

= 2 - cos (θ) + 10 cos^{2} (θ) - 5

Vereinfache

2 - cos (θ) + 10 cos^{2} (θ) - 5 : 10 cos^{2} (θ) - cos (θ) - 3

2 - cos (θ) + 10 cos^{2} (θ) - 5

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos (θ) + 10 cos^{2} (θ) + 2 - 5

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

2 - 5 = - 3

= 10 cos^{2} (θ) - cos (θ) - 3

= 10 cos^{2} (θ) - cos (θ) - 3

= 10 cos^{2} (θ) - cos (θ) - 3

- 3 - cos (θ) + 10 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 3 - cos (θ) + 10 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 3 - u + 10 u^{2} = 0

- 3 - u + 10 u^{2} = 0 : u = \frac{3}{5}, u = - \frac{1}{2}

- 3 - u + 10 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} - u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

10 u^{2} - u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 10, b = - 1, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 3 )}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 3 )}{2 \cdot 10}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 10 (- 3) = 11

(- 1)^{2} - 4 \cdot 10 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 3

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 10 \cdot 3 = 120

4 \cdot 10 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 3 = 120

= 120

= 1 + 120

Addiere die Zahlen:

1 + 120 = 121

= 121

Faktorisiere die Zahl:

121 = 1 1^{2}

= 1 1^{2}

Wende Radikal Regel an:

1 1^{2} = 11

= 11

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 11}{2 \cdot 10}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 11}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 11}{2 \cdot 10}

u = \frac{- ( - 1 ) + 11}{2 \cdot 10} : \frac{3}{5}

\frac{- ( - 1 ) + 11}{2 \cdot 10}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 11}{2 \cdot 10}

Addiere die Zahlen:

1 + 11 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{12}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{3}{5}

u = \frac{- ( - 1 ) - 11}{2 \cdot 10} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 11}{2 \cdot 10}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 11}{2 \cdot 10}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 11 = - 10

= \frac{- 10}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 10}{20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{3}{5}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{3}{5}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{3}{5}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{3}{5} : θ = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{3}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.92729 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.92729 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Beliebte Beispiele

tan(2x)=0.32

tan (2 x) = 0.32

sin(x)=(-sqrt(3))/2 ,270<x<360

sin (x) = \frac{- 3}{2}, 27 0^{\circ} < x < 36 0^{\circ}

solvefor x,R=(v^2sin(2x))/g löse nach

x, R = \frac{v ^{2} sin ( 2 x )}{g}

sin(θ)csc(3θ-40)=1,calculetan(3θ)

sin (θ) csc (3 θ - 40) = 1, c a l c u l e tan (3 θ)

3cot^2(x)-4cot(x)+sqrt(3)=0

3 cot^{2} (x) - 4 cot (x) + 3 = 0