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Popolare Trigonometria >

sinh(x40)= 30/40

Soluzione

sinh (x 40) = \frac{30}{40}

Soluzione

x = \frac{1}{40} ln (2)

Gradi

x = 0.99286 \dots^{\circ}

Fasi della soluzione

sinh (x \cdot 40) = \frac{30}{40}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sinh (x \cdot 40) = \frac{30}{40}

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x \cdot 40} - e ^{- x \cdot 40}}{2} = \frac{30}{40}

\frac{e ^{x \cdot 40} - e ^{- x \cdot 40}}{2} = \frac{30}{40}

\frac{e ^{x \cdot 40} - e ^{- x \cdot 40}}{2} = \frac{30}{40} : x = \frac{1}{40} ln (2)

\frac{e ^{x \cdot 40} - e ^{- x \cdot 40}}{2} = \frac{30}{40}

Applica la moltiplicazione incrociata: se

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

allora

a \cdot d = b \cdot c

(e^{x \cdot 40} - e^{- x \cdot 40}) \cdot 40 = 2 \cdot 30

Semplificare

(e^{x \cdot 40} - e^{- x \cdot 40}) \cdot 40 = 60

Applica le regole dell'esponente

(e^{x \cdot 40} - e^{- x \cdot 40}) \cdot 40 = 60

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{x 40} = (e^{x})^{40}, e^{- x 40} = (e^{x})^{- 40}

((e^{x})^{40} - (e^{x})^{- 40}) \cdot 40 = 60

((e^{x})^{40} - (e^{x})^{- 40}) \cdot 40 = 60

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

((u)^{40} - (u)^{- 40}) \cdot 40 = 60

Risolvi

(u^{40} - u^{- 40}) \cdot 40 = 60 : u = 202, u = - 202

(u^{40} - u^{- 40}) \cdot 40 = 60

Affinare

(u^{40} - \frac{1}{u ^{40}}) \cdot 40 = 60

Semplificare

(u^{40} - \frac{1}{u ^{40}}) \cdot 40 : 40 (u^{40} - \frac{1}{u ^{40}})

(u^{40} - \frac{1}{u ^{40}}) \cdot 40

Applica la legge commutativa:

(u^{40} - \frac{1}{u ^{40}}) \cdot 40 = 40 (u^{40} - \frac{1}{u ^{40}})

40 (u^{40} - \frac{1}{u ^{40}})

40 (u^{40} - \frac{1}{u ^{40}}) = 60

Espandere

40 (u^{40} - \frac{1}{u ^{40}}) : 40 u^{40} - \frac{40}{u ^{40}}

40 (u^{40} - \frac{1}{u ^{40}})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 40, b = u^{40}, c = \frac{1}{u ^{40}}

= 40 u^{40} - 40 \cdot \frac{1}{u ^{40}}

40 \cdot \frac{1}{u ^{40}} = \frac{40}{u ^{40}}

40 \cdot \frac{1}{u ^{40}}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 40}{u ^{40}}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 40 = 40

= \frac{40}{u ^{40}}

= 40 u^{40} - \frac{40}{u ^{40}}

40 u^{40} - \frac{40}{u ^{40}} = 60

Moltiplica entrambi i lati per

u^{40}

40 u^{40} - \frac{40}{u ^{40}} = 60

Moltiplica entrambi i lati per

u^{40}

40 u^{40} u^{40} - \frac{40}{u ^{40}} u^{40} = 60 u^{40}

Semplificare

40 u^{40} u^{40} - \frac{40}{u ^{40}} u^{40} = 60 u^{40}

Semplificare

40 u^{40} u^{40} : 40 u^{80}

40 u^{40} u^{40}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{40} u^{40} = u^{40 + 40}

= 40 u^{40 + 40}

Aggiungi i numeri:

40 + 40 = 80

= 40 u^{80}

Semplificare

- \frac{40}{u ^{40}} u^{40} : - 40

- \frac{40}{u ^{40}} u^{40}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{40 u ^{40}}{u ^{40}}

Cancella il fattore comune:

u^{40}

= - 40

40 u^{80} - 40 = 60 u^{40}

40 u^{80} - 40 = 60 u^{40}

40 u^{80} - 40 = 60 u^{40}

Risolvi

40 u^{80} - 40 = 60 u^{40} : u = 202, u = - 202

40 u^{80} - 40 = 60 u^{40}

Spostare

60 u^{40}

a sinistra dell'equazione

40 u^{80} - 40 = 60 u^{40}

Sottrarre

60 u^{40}

da entrambi i lati

40 u^{80} - 40 - 60 u^{40} = 60 u^{40} - 60 u^{40}

Semplificare

40 u^{80} - 40 - 60 u^{40} = 0

40 u^{80} - 40 - 60 u^{40} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

40 u^{80} - 60 u^{40} - 40 = 0

Riscrivi l'equazione con

v = u^{2}, v^{20} = u^{40}

v^{40} = u^{80}

40 v^{40} - 60 v^{20} - 40 = 0

Risolvi

40 v^{40} - 60 v^{20} - 40 = 0 : v = 102, v = - 102

40 v^{40} - 60 v^{20} - 40 = 0

Riscrivi l'equazione con

u = v^{2}, u^{10} = v^{20}

u^{20} = v^{40}

40 u^{20} - 60 u^{10} - 40 = 0

Risolvi

40 u^{20} - 60 u^{10} - 40 = 0 : u = 52, u = - 52

40 u^{20} - 60 u^{10} - 40 = 0

Riscrivi l'equazione con

v = u^{2}, v^{5} = u^{10}

v^{10} = u^{20}

40 v^{10} - 60 v^{5} - 40 = 0

Risolvi

40 v^{10} - 60 v^{5} - 40 = 0 : v = 52, v = - \frac{1}{5 2}

40 v^{10} - 60 v^{5} - 40 = 0

Riscrivi l'equazione con

u = v^{5}

u^{2} = v^{10}

40 u^{2} - 60 u - 40 = 0

Risolvi

40 u^{2} - 60 u - 40 = 0 : u = 2, u = - \frac{1}{2}

40 u^{2} - 60 u - 40 = 0

Risolvi con la formula quadratica

40 u^{2} - 60 u - 40 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 40, b = - 60, c = - 40

u_{1, 2} = \frac{- ( - 60 ) \pm ( - 60 ) ^{2} - 4 \cdot 40 ( - 40 )}{2 \cdot 40}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 60 ) \pm ( - 60 ) ^{2} - 4 \cdot 40 ( - 40 )}{2 \cdot 40}

(- 60)^{2} - 4 \cdot 40 (- 40) = 100

(- 60)^{2} - 4 \cdot 40 (- 40)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 60)^{2} + 4 \cdot 40 \cdot 40

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 60)^{2} = 6 0^{2}

= 6 0^{2} + 4 \cdot 40 \cdot 40

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 40 \cdot 40 = 6400

= 6 0^{2} + 6400

6 0^{2} = 3600

= 3600 + 6400

Aggiungi i numeri:

3600 + 6400 = 10000

= 10000

Fattorizzare il numero:

10000 = 10 0^{2}

= 10 0^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

10 0^{2} = 100

= 100

u_{1, 2} = \frac{- ( - 60 ) \pm 100}{2 \cdot 40}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 60 ) + 100}{2 \cdot 40}, u_{2} = \frac{- ( - 60 ) - 100}{2 \cdot 40}

u = \frac{- ( - 60 ) + 100}{2 \cdot 40} : 2

\frac{- ( - 60 ) + 100}{2 \cdot 40}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{60 + 100}{2 \cdot 40}

Aggiungi i numeri:

60 + 100 = 160

= \frac{160}{2 \cdot 40}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 40 = 80

= \frac{160}{80}

Dividi i numeri:

\frac{160}{80} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 60 ) - 100}{2 \cdot 40} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 60 ) - 100}{2 \cdot 40}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{60 - 100}{2 \cdot 40}

Sottrai i numeri:

60 - 100 = - 40

= \frac{- 40}{2 \cdot 40}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 40 = 80

= \frac{- 40}{80}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{40}{80}

Cancella il fattore comune:

40

= - \frac{1}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 2, u = - \frac{1}{2}

u = 2, u = - \frac{1}{2}

Sostituisci

u = v^{5},

risolvi per

v

Risolvi

v^{5} = 2 : v = 52

v^{5} = 2

Per

x^{n} = f (a)

, n è dispari, la soluzione è

x = n f (a)

v = 52

Risolvi

v^{5} = - \frac{1}{2} : v = - \frac{1}{5 2}

v^{5} = - \frac{1}{2}

Per

x^{n} = f (a)

, n è dispari, la soluzione è

x = n f (a)

v = 5 - \frac{1}{2}

5 - \frac{1}{2} = - \frac{1}{5 2}

5 - \frac{1}{2}

Applicare la regola della radice:

n - a = - n a,

n

è dispari

5 - \frac{1}{2} = - 5 \frac{1}{2}

= - 5 \frac{1}{2}

Applicare la regola della radice:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}, a \geq 0, b \geq 0

5 \frac{1}{2} = \frac{5 1}{5 2}

= - \frac{5 1}{5 2}

Applicare la regola della radice:

n 1 = 1

51 = 1

= - \frac{1}{5 2}

v = - \frac{1}{5 2}

Le soluzioni sono

v = 52, v = - \frac{1}{5 2}

v = 52, v = - \frac{1}{5 2}

Sostituisci

v = u^{2},

risolvi per

u

Risolvi

u^{2} = 52 : u = 52, u = - 52

u^{2} = 52

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 52, u = - 52

Risolvi

u^{2} = - \frac{1}{5 2} :

Nessuna soluzione per

u \in R

u^{2} = - \frac{1}{5 2}

x^{2}

non può essere negativo per

x \in R

Nessuna soluzione per u \in R

Le soluzioni sono

u = 52, u = - 52

u = 52, u = - 52

Sostituisci

u = v^{2},

risolvi per

v

Risolvi

v^{2} = 52 : v = 102, v = - 102

v^{2} = 52

Semplificare

52 : 102

52

Applicare la regola della radice:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= (2^{\frac{1}{5}})^{\frac{1}{2}}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}}

\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}

\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{5 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{1}{10}

= 2^{\frac{1}{10}}

a^{\frac{1}{n}} = n a

= 102

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

v = 102, v = - 102

Risolvi

v^{2} = - 52 :

Nessuna soluzione per

v \in R

v^{2} = - 52

Semplifica

52 : 102

52

Applicare la regola della radice:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= (2^{\frac{1}{5}})^{\frac{1}{2}}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}}

\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}

\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{5 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{1}{10}

= 2^{\frac{1}{10}}

a^{\frac{1}{n}} = n a

= 102

v^{2} = - 102

x^{2}

non può essere negativo per

x \in R

Nessuna soluzione per v \in R

Le soluzioni sono

v = 102, v = - 102

v = 102, v = - 102

Sostituisci

v = u^{2},

risolvi per

u

Risolvi

u^{2} = 102 : u = 202, u = - 202

u^{2} = 102

Semplificare

102 : 202

102

Applicare la regola della radice:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= (2^{\frac{1}{10}})^{\frac{1}{2}}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2}}

\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{20}

\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{10 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{10 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

10 \cdot 2 = 20

= \frac{1}{20}

= 2^{\frac{1}{20}}

a^{\frac{1}{n}} = n a

= 202

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 202, u = - 202

Risolvi

u^{2} = - 102 :

Nessuna soluzione per

u \in R

u^{2} = - 102

Semplifica

102 : 202

102

Applicare la regola della radice:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= (2^{\frac{1}{10}})^{\frac{1}{2}}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2}}

\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{20}

\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{10 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{10 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

10 \cdot 2 = 20

= \frac{1}{20}

= 2^{\frac{1}{20}}

a^{\frac{1}{n}} = n a

= 202

u^{2} = - 202

x^{2}

non può essere negativo per

x \in R

Nessuna soluzione per u \in R

Le soluzioni sono

u = 202, u = - 202

u = 202, u = - 202

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

(u^{40} - u^{- 40}) 40

e confrontare con zero

Risolvi

u^{40} = 0 : u = 0

u^{40} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 202, u = - 202

u = 202, u = - 202

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = 202 : x = \frac{1}{40} ln (2)

e^{x} = 202

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = 202

Applica la regola degli esponenti:

a = a^{\frac{1}{2}}

202 = 202^{\frac{1}{2}}

e^{x} = (202)^{\frac{1}{2}}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(202)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}}

e^{x} = 2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}})

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}})

Applica la regola del logaritmo:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}}) = \frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} ln (2)

x = \frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} ln (2)

Semplificare

x = \frac{1}{40} ln (2)

x = \frac{1}{40} ln (2)

Risolvi

e^{x} = - 202 :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = - 202

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = - 202

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

202 = 2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}}

e^{x} = - 2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}}

e^{x} = - 2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}}

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

x = \frac{1}{40} ln (2)

x = \frac{1}{40} ln (2)

Grafico

Esempi popolari

tan(θ)=0.36

tan (θ) = 0.36

4cosh(x)+3sinh(x)=5

4 cosh (x) + 3 sinh (x) = 5

tan(θ)=0.04

tan (θ) = 0.04

csc(θ)= 9/11

csc (θ) = \frac{9}{11}

5-7sin(x)=2cos^2(x)

5 - 7 sin (x) = 2 cos^{2} (x)