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Popular >

cos(x)=(sqrt(1+cos(x)))/2

Solución

cos (x) = \frac{1 + cos ( x )}{2}

Solución

x = 0.87579 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.87579 \dots + 2 πn

Grados

x = 50.17922 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 309.82077 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (x) = \frac{1 + cos ( x )}{2}

Usando el método de sustitución

cos (x) = \frac{1 + cos ( x )}{2}

Sea:

cos (x) = u

u = \frac{1 + u}{2}

u = \frac{1 + u}{2} : u = \frac{1 + 17}{8}

u = \frac{1 + u}{2}

Multiplicar ambos lados por

2

u \cdot 2 = \frac{1 + u}{2} \cdot 2

Simplificar

u \cdot 2 = 1 + u

Elevar al cuadrado ambos lados:

4 u^{2} = 1 + u

u \cdot 2 = 1 + u

(u \cdot 2)^{2} = (1 + u)^{2}

Desarrollar

(u \cdot 2)^{2} : 4 u^{2}

(u \cdot 2)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} u^{2}

2^{2} = 4

= 4 u^{2}

Desarrollar

(1 + u)^{2} : 1 + u

(1 + u)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 + u)^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 + u)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 1 + u

4 u^{2} = 1 + u

4 u^{2} = 1 + u

Resolver

4 u^{2} = 1 + u : u = \frac{1 + 17}{8}, u = \frac{1 - 17}{8}

4 u^{2} = 1 + u

Mover

u

al lado izquierdo

4 u^{2} = 1 + u

Restar

u

de ambos lados

4 u^{2} - u = 1 + u - u

Simplificar

4 u^{2} - u = 1

4 u^{2} - u = 1

Mover

1

al lado izquierdo

4 u^{2} - u = 1

Restar

1

de ambos lados

4 u^{2} - u - 1 = 1 - 1

Simplificar

4 u^{2} - u - 1 = 0

4 u^{2} - u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} - u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = - 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 17

(- 1)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 16

= 1 + 16

Sumar:

1 + 16 = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 17}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 17}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 17}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 1 ) + 17}{2 \cdot 4} : \frac{1 + 17}{8}

\frac{- ( - 1 ) + 17}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{1 + 17}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{1 + 17}{8}

u = \frac{- ( - 1 ) - 17}{2 \cdot 4} : \frac{1 - 17}{8}

\frac{- ( - 1 ) - 17}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{1 - 17}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{1 - 17}{8}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1 + 17}{8}, u = \frac{1 - 17}{8}

u = \frac{1 + 17}{8}, u = \frac{1 - 17}{8}

Verificar las soluciones:

u = \frac{1 + 17}{8}

Verdadero

, u = \frac{1 - 17}{8}

Falso

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

u = \frac{1 + u}{2}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

u = \frac{1 + 17}{8} :

Verdadero

\frac{1 + 17}{8} = \frac{1 + ( \frac{1 + 17}{8} )}{2}

\frac{1 + ( \frac{1 + 17}{8} )}{2} = \frac{9 + 17}{4 2}

\frac{1 + ( \frac{1 + 17}{8} )}{2}

Quitar los parentesis:

(a) = a

= \frac{1 + \frac{1 + 17}{8}}{2}

1 + \frac{1 + 17}{8} = \frac{9 + 17}{2 2}

1 + \frac{1 + 17}{8}

Simplificar

1 + \frac{1 + 17}{8}

en una fracción:

\frac{9 + 17}{8}

1 + \frac{1 + 17}{8}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 8}{8}

= \frac{1 \cdot 8}{8} + \frac{1 + 17}{8}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 8 + 1 + 17}{8}

1 \cdot 8 + 1 + 17 = 9 + 17

1 \cdot 8 + 1 + 17

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 8 = 8

= 8 + 1 + 17

Sumar:

8 + 1 = 9

= 9 + 17

= \frac{9 + 17}{8}

= \frac{9 + 17}{8}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{9 + 17}{8}

8 = 22

8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

= \frac{9 + 17}{2 2}

= \frac{\frac{9 + 17}{2 2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{9 + 17}{2 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{9 + 17}{4 2}

\frac{1 + 17}{8} = \frac{9 + 17}{4 2}

Verdadero

Sustituir

u = \frac{1 - 17}{8} :

Falso

\frac{1 - 17}{8} = \frac{1 + ( \frac{1 - 17}{8} )}{2}

\frac{1 + ( \frac{1 - 17}{8} )}{2} = \frac{9 - 17}{4 2}

\frac{1 + ( \frac{1 - 17}{8} )}{2}

Quitar los parentesis:

(a) = a

= \frac{1 + \frac{1 - 17}{8}}{2}

1 + \frac{1 - 17}{8} = \frac{9 - 17}{2 2}

1 + \frac{1 - 17}{8}

Simplificar

1 + \frac{1 - 17}{8}

en una fracción:

\frac{9 - 17}{8}

1 + \frac{1 - 17}{8}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 8}{8}

= \frac{1 \cdot 8}{8} + \frac{1 - 17}{8}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 8 + 1 - 17}{8}

1 \cdot 8 + 1 - 17 = 9 - 17

1 \cdot 8 + 1 - 17

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 8 = 8

= 8 + 1 - 17

Sumar:

8 + 1 = 9

= 9 - 17

= \frac{9 - 17}{8}

= \frac{9 - 17}{8}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{9 - 17}{8}

8 = 22

8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

= \frac{9 - 17}{2 2}

= \frac{\frac{9 - 17}{2 2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{9 - 17}{2 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{9 - 17}{4 2}

\frac{1 - 17}{8} = \frac{9 - 17}{4 2}

Falso

La solución es

u = \frac{1 + 17}{8}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1 + 17}{8}

cos (x) = \frac{1 + 17}{8}

cos (x) = \frac{1 + 17}{8} : x = arccos (\frac{1 + 17}{8}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 17}{8}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 17}{8}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{1 + 17}{8}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{1 + 17}{8}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 17}{8}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 17}{8}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 17}{8}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 17}{8}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{1 + 17}{8}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 17}{8}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.87579 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.87579 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

sin(x/2)+(sqrt(3))/2 =0

sin (\frac{x}{2}) + \frac{3}{2} = 0

cos(x)=0.818

cos (x) = 0.818

sin(x)=(150)/(212.6)(sin(115))

sin (x) = \frac{150}{212.6} (sin (11 5^{\circ}))

16cos(2θ)-9=0

16 cos (2 θ) - 9 = 0

0=2+3cos(θ)+cos(2θ)

0 = 2 + 3 cos (θ) + cos (2 θ)